2 exercises on oscillations using springs and an inclined plane

⚡ 2 Ασκήσεις Ταλαντώσεων με Πλήρεις Λύσεις ⚡

Ταλαντώσεις – Ελατήρια – Κεκλιμένο Επίπεδο

Άσκηση 1

Σώμα μάζας \(m_1 = 1\,\mathrm{kg}\) ισορροπεί τοποθετημένο στο ελεύθερο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \(k = 100\,\mathrm{N/m}\). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Τοποθετούμε πάνω στο σώμα μάζας \(m_1\) ένα άλλο σώμα μάζας \(m_2 = 3\,\mathrm{kg}\).

α. Δυναμική ενέργεια ελατηρίου πριν την τοποθέτηση του \(m_2\)

β. Μέγιστη ταχύτητα του συστήματος

γ. Μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου

▶ Λύση

α) Δυναμική ενέργεια ελατηρίου πριν την τοποθέτηση του \(m_2\)

Βήμα 1: Αρχική συμπίεση του ελατηρίου

\[ kx_1 = m_1g \implies x_1 = \frac{m_1g}{k} = \frac{1 \cdot 10}{100} = 0.1\,\mathrm{m} \]

Βήμα 2: Δυναμική ενέργεια ελατηρίου

\[ U_1 = \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.1)^2 = 0.5\,\mathrm{J} \]

\(U_{\text{ελ,αρχική}} = 0.5\,\mathrm{J}\)

β) Μέγιστη ταχύτητα του συστήματος

Βήμα 1: Νέα θέση ισορροπίας

\[ (m_1 + m_2)g = 4 \cdot 10 = 40\,\mathrm{N} \] \[ kx_2 = (m_1 + m_2)g \implies x_2 = \frac{40}{100} = 0.4\,\mathrm{m} \]

Βήμα 2: Πλάτος ταλάντωσης

\[ A = x_2 - x_1 = 0.4 - 0.1 = 0.3\,\mathrm{m} \]

Βήμα 3: Γωνιακή συχνότητα

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5\,\mathrm{rad/s} \]

Βήμα 4: Μέγιστη ταχύτητα

\[ \upsilon_{\max} = \omega A = 5 \cdot 0.3 = 1.5\,\mathrm{m/s} \]

\(\upsilon_{\max} = 1.5\,\mathrm{m/s}\)

γ) Μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου

Η μέγιστη συμπίεση είναι στη κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης:

\[ x_{\max} = x_2 + A = 0.4 + 0.3 = 0.7\,\mathrm{m} \]

\(x_{\max} = 0.7\,\mathrm{m}\)

Ερώτημα	Απάντηση
α) Δυναμική ενέργεια ελατηρίου πριν	\(0.5\,\mathrm{J}\)
β) Μέγιστη ταχύτητα συστήματος	\(1.5\,\mathrm{m/s}\)
γ) Μέγιστη συμπίεση ελατηρίου	\(0.7\,\mathrm{m}\)

Άσκηση 2

Ιδανικό ελατήριο σταθεράς \(k = 200\,\mathrm{N/m}\) είναι στερεωμένο με το ένα άκρο του στη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως \(\phi = 30^\circ\). Ο άξονας του ελατηρίου είναι παράλληλος με τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου είναι τοποθετημένο σώμα βάρους \(B = 40\,\mathrm{N}\) και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

α. Ενέργεια που πρέπει να δαπανήσει άνθρωπος για νέα συσπείρωση κατά \(x_2 = 0.2\,\mathrm{m}\)

β. Απόσταση που θα διανύσει το σώμα μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του

▶ Λύση

α) Ενέργεια που δαπανά ο άνθρωπος

Βήμα 1: Θέση ισορροπίας

\[ kx_1 = mg\sin\phi = 40 \cdot 0.5 = 20\,\mathrm{N} \] \[ x_1 = \frac{20}{200} = 0.1\,\mathrm{m} \]

Βήμα 2: Νέα συνολική συμπίεση

\[ x_{\text{ολ}} = x_1 + x_2 = 0.1 + 0.2 = 0.3\,\mathrm{m} \]

Βήμα 3: Μεταβολή ενέργειας ελατηρίου

\[ \Delta U_{\text{ελ}} = \frac{1}{2}k(x_{\text{ολ}}^2 - x_1^2) = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.3^2 - 0.1^2) = 8\,\mathrm{J} \]

Βήμα 4: Μεταβολή βαρυτικής δυναμικής ενέργειας

\[ \Delta h = -x_2\sin\phi = -0.2 \cdot 0.5 = -0.1\,\mathrm{m} \] \[ \Delta U_{\text{βαρ}} = mg\Delta h = 40 \cdot (-0.1) = -4\,\mathrm{J} \]

Βήμα 5: Ενέργεια που δαπανά ο άνθρωπος

\[ W = \Delta U_{\text{ελ}} + \Delta U_{\text{βαρ}} = 8 + (-4) = 4\,\mathrm{J} \]

\(W_{\text{ανθρώπου}} = 4\,\mathrm{J}\)

β) Απόσταση μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητα

Σημείωση: Η εκφώνηση δεν διευκρινίζει αν το σώμα είναι στερεωμένο ή σε επαφή. Παρουσιάζουμε και τις δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1: Στερεωμένο σώμα

Το σύστημα εκτελεί πλήρη αρμονική ταλάντωση:

\[ A = 0.3 - 0.1 = 0.2\,\mathrm{m},\quad x_{\text{πάνω}} = 0.1 - 0.2 = -0.1\,\mathrm{m} \] \[ s = 0.3 - (-0.1) = 0.4\,\mathrm{m} \]

\(s_{\text{στερεωμένο}} = 0.4\,\mathrm{m}\)

Περίπτωση 2: Σώμα σε επαφή (αποχωρίζεται)

Ταχύτητα στο φυσικό μήκος (\(x = 0\)):

\[ \frac{1}{2}k(0.3)^2 + mg(-0.3\sin\phi) = \frac{1}{2}m\upsilon_0^2 \] \[ 9 - 6 = 2\upsilon_0^2 \implies \upsilon_0 = \sqrt{1.5}\,\mathrm{m/s} \]

Μετά την αποχώριση:

\[ a = -g\sin\phi = -5\,\mathrm{m/s^2} \] \[ 0 = \upsilon_0^2 + 2a s_{\text{επιπ}} \implies s_{\text{επιπ}} = 0.15\,\mathrm{m} \]

Συνολική απόσταση:

\[ s = 0.3 + 0.15 = 0.45\,\mathrm{m} \]

\(s_{\text{επαφή}} = 0.45\,\mathrm{m}\)

Ερώτημα	Απάντηση
α) Ενέργεια που δαπανά ο άνθρωπος	\(4\,\mathrm{J}\)
β) Απόσταση (στερεωμένο)	\(0.4\,\mathrm{m}\)
β) Απόσταση (σε επαφή)	\(0.45\,\mathrm{m}\)

📌 Σημείωση: Στην περίπτωση που το σώμα δεν είναι στερεωμένο στο ελατήριο (συνήθης περίπτωση), αποχωρίζεται στο φυσικό μήκος και η συνολική απόσταση είναι \(0.45\,\mathrm{m}\).

📋 Συνοπτικές Απαντήσεις

Άσκηση 1

• α) \(U_{\text{ελ,αρχική}} = 0.5\,\mathrm{J}\)
• β) \(\upsilon_{\max} = 1.5\,\mathrm{m/s}\)
• γ) \(x_{\max} = 0.7\,\mathrm{m}\)

Άσκηση 2

• α) \(W_{\text{ανθρώπου}} = 4\,\mathrm{J}\)
• β) Στερεωμένο: \(s = 0.4\,\mathrm{m}\)
• β) Σε επαφή: \(s = 0.45\,\mathrm{m}\)

📄

Λήψη σε μορφή PDF

Κατεβάστε τις ασκήσεις με τις πλήρεις λύσεις τους σε μορφή PDF για εκτύπωση ή offline μελέτη.

📥 Κατεβάστε το PDF →

© 2026 · 2 Ασκήσεις Ταλαντώσεων με Πλήρεις Λύσεις

Η πάνω ακραία θέση της παλαιάς ταλάντωσης = κάτω ακραία θέση της νέας!

 [Είναι δυνατόν η πάνω ακραία θέση μιας  ταλάντωσης σώματος – ελατηρίου να ταυτίζεται με την κάτω ακραία θέση μιας νέας ταλάντωσης του συστήματος; Η απάντηση είναι ΝΑΙ αν στο ενδιάμεσο αλλάξει μια από τις σταθερές δυνάμεις που ενεργούν στο σύστημα.]

Tο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, είναι στερεωμένο ακλόνητα. Στο κάτω άκρο είναι στερεωμένος ένας δίσκος μάζας  Μ=1kgr πάνω στον οποίο βρίσκεται ένα σώμα μάζας m = 2 kgr. Προσφέρουμε στο σύστημα ενέργεια Ε και το θέτουμε σε α.α.τ  πλάτους Α.  Κάποια στιγμή, που το σύστημα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του, αφαιρούμε το σώμα m.

  α) Πόση ήταν η ενέργεια  Ε που προσφέραμε στο σύστημα, αν δίνεται ότι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που θα κάνει ο δίσκος είναι το ίδιο με της αρχικής  ταλάντωσης του συστήματος σώμα-δίσκος; 

  β) Ποια  είναι η συνάρτηση της απομάκρυνσης του δίσκου με το χρόνο, αν ως αρχή χρόνων θεωρηθεί η στιγμή της αφαίρεσης του m; (Πάνω από τη θέση ισορροπίας η απομάκρυνση θεωρείται αρνητική.) 

Δίνεται g=10m/sec_­². 

 Για εξάσκηση:  Μπορείτε να τροποποιήσετε την άσκηση ώστε να συμβεί το αντίθετο: η κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης συστήματος σώμα - ελατήριο να ταυτίζεται με την πάνω ακραία θέση της νέας του ταλάντωσης, Δεν είναι ανάγκη να αλλάξετε τη μάζα του σώματος, μπορείτε να ασκήσετε μια σταθερή δύναμη στο σώμα.

Η Άσκηση και η Λύση της ΕΔΩ

«Δίωρο διαγώνισμα στις μηχανικές απλές αρμονικές ταλαντώσεις»

 

                     Κατεβάστε το από εδώ

Μια επαφή, που κινδυνεύει να χαθεί … λόγω κρούσης!

 [Η άσκηση αυτή είναι μια νέα, βελτιωμένη, έκδοση μιας παλαιότερης].

Ένα ελατήριο, σταθεράς k = 100 N/m, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του με τον άξονά του κατακόρυφο. Στο πάνω άκρο του βρίσκεται στερεωμένος ένας αβαρής οριζόντιος δίσκος και πάνω σ’ αυτόν είναι τοποθετημένο ένα σώμα  μάζας m = 1,6 kgr, χωρίς να είναι στερεωμένο με το δίσκο. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Από ύψος h = 20 cm, πάνω από το σώμα που στηρίζεται στο δίσκο και στην ίδια κατακόρυφο, αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα ένα δεύτερο σώμα ίσης μάζας με το πρώτο, το οποίο συγκρούεται πλαστικά με αυτό και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αρχίζει να κάνει  α.α.τ.

Α. Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

Β. Να δείξετε ότι αν το ύψος από το οποίο θα αφήσουμε το πάνω σώμα είναι αρκετά μεγάλο, η επαφή συσσωματώματος και δίσκου θα χαθεί.

Β1. Σε ποια θέση θα συμβεί αυτό;

Β2. Πόσο είναι το μέτρο της εσωτερικής δύναμης μεταξύ των σωμάτων Α και Β στη θέση αυτή;

Γ.  Ποιο είναι το ύψος h₀ από το οποίο αν αφήσουμε το πάνω σώμα, το συσσωμάτωμα θα εκτελέσει  α.α.τ  με το μέγιστο δυνατό πλάτος, χωρίς να χάσει την επαφή του με το δίσκο; Δίνεται ότι g = 10 m/sec². 

Ελατήρια σώματα και "απώλεια επαφής"

Εφόσον υπάρχουν οι προϋποθέσεις για απώλεια επαφής σε ένα ταλαντούμενο σύστημα με ελατήριο, αυτή θα συμβεί τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος.

 

Τέσσερα εύκολα αλλά "πονηρά" θέματα B στις απλές αρμονικές ταλαντώσεις

   

 1. Αν το κιβώτιο του σχήματος συνδεθεί με το αριστερό ελατήριο σταθεράς k₁ και διεγερθεί κατάλληλα θα εκτελέσει  α.α.τ. με συχνότητα f₁. Όμοια, αν συνδεθεί με το δεξί ελατήριο σταθεράς k₂ θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f₂.

Δείξτε ότι αν συνδεθεί και με τα δύο ελατήρια όπως στο τρίτο σχήμα, και διεγερθεί κατάλληλα, θα κάνει α.α.τ. με συχνότητα f  για την οποία:

f² = f₁² + f₂²

 (Δίνεται ότι όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση Ι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Δίνεται, επίσης, ότι το κιβώτιο κινείται χωρίς τριβές στην οριζόντια επιφάνεια και ότι τα υποστηρίγματα δεξιά και αριστερά στα οποία στερεώνονται τα ελατήρια είναι σταθερά). 

 

 

2. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Για κάθε λЄR το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το υλικό σημείο για να μεταβεί από τη θέση x = +A/λ με υ > 0 στη θέση x = -A/λ με υ < 0, είναι:

α. Τ/4,  β. Εξαρτάται από την τιμή του λ,  γ. Τ/2

 

 

 

3. Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια για χρόνο:

α. Τ/2,   β. Τ/3,  γ. Τ/4

 

4. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. περιόδου Τ. Αν S_μεγ. και S_ελαχ. είναι, αντίστοιχα, το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος του διαστήματος που διανύει σε χρόνο Τ/3, να δείξετε ότι:

S_μεγ.\ S_ελαχ =  √3

 Τα θέματα και οι απαντήσεις εδώ

Απλή Αρμονική Ταλάντωση. Δέκα ερωτήσεις

 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Θέμα Α

1. Στην α.α.τ το πηλίκο της επιτάχυνσης του σώματος προς την απομάκρυνσή του από το κέντρο της ταλάντωσης  είναι, κάθε στιγμή, μέτρο της

α.  σταθεράς επαναφοράς

β.  γωνιακής συχνότητας

γ. (γωνιακής συχνότητας)²

δ. δύναμης επαναφοράς

 

2. Για ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ η κινητική ενέργεια Κ δίνεται από τη σχέση Κ = Κ_οσυν²ωt. Η μέγιστη τιμή της δυναμικής  του ενέργειας είναι:

α.  Κ_ο

β.  μηδέν

γ.  Κ_ο/2

δ. αδύνατο να εκτιμήσουμε.

 

3.  Η δυναμική  ενέργεια ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι συνάρτηση της απομάκρυνσή  του x από την κεντρική θέση της τροχιάς του. Αν λ είναι θετική σταθερά, η κίνησή του θα είναι α.α.τ  όταν:

α. U = λx²

β. U = -λx²/2

γ. U = k

δ. U = λx

---

 

 

Θέμα Β

1. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ πλάτους 4 cm. Σε ποια από τις παρακάτω απομακρύνσεις η ενέργειά του είναι κατά το ένα ήμισυ δυναμική και κατά το άλλο ήμισυ κινητική;    

α. 2 cm

β. 2^0,5cm

γ. 2.2^0,5 cm

δ. 3 cm

Δείτε:

1. Όλες τις Ερωτήσεις

2. Τις Απαντήσεις

Οριζόντια ράβδος στερεωμένη σε δύο ανόμοια ελατήρια

Μια ομοιόμορφη (ομογενής και ισοπαχής) ράβδος AB βάρους w και μήκους L = 20 cm αναρτάται από δύο κατακόρυφα ελατήρια Χ και Υ προσαρτημένα στα άκρα της Α και Β. Τα άνω άκρα των ελατηρίων είναι στερεωμένα σε οριζόντιο ακλόνητο στήριγμα. Όταν τα ελατήρια δεν είναι εκτεταμένα έχουν το ίδιο μήκος. Η σταθερά του ελατηρίου Χ είναι ίση με 3k και του Υ ίση με k.

α. Σε ποια απόσταση από το Α πρέπει να τοποθετήσουμε πάνω στη ράβδο ένα σώμα Σ βάρους 5W ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια;

β. Αντικαθιστούμε το ελατήριο Χ με ένα άλλο παρόμοιο με το ελατήριο Υ και τοποθετούμε το σώμα Σ στο μέσον της ράβδου. Μετατοπίζουμε προς τα κάτω τη ράβδο, παράλληλα προς τη θέση ισορροπίας της, με το σώμα στην παραπάνω θέση, και αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα ράβδος – σώμα Σ να εκτελέσει ταλάντωση. Αν w = 2 Ν και k = 150 N/m, να βρείτε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος της ταλάντωσης ώστε να μη χαθεί η επαφή του σώματος Σ με τη ράβδο.

γ. Να προσδιορίσετε στη θέση όπου χάνεται η επαφή της ράβδου με το σώμα τη συνολική ροπή των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στη ράβδο, ως προς το άκρο της Α.

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word: