Εκτόξευση σώματος κάθετα προς την πορεία ενός τρένου

3. Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση:

Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg, φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg, κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1m/s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m/s. Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος;

 

Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,

                                                            (Μ+m)υ = mυ΄         (1)

                                                               υ΄ = (Μ+m)υ⁄_m

                                                                    υ΄ =  (48kg + 2kg)(1m/s)⁄2kg = 25 m/s

Επειδή η λύση μου φάνηκε αρκετά απλή είπα να βρω και κάτι άλλο. Σκέφτηκα να δω τι συμβαίνει με τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Γνωρίζω ότι εδώ η συνολική κινητική ενέργεια δεν διατηρείται (έχουμε κάτι σαν σχάση όπου η ενέργεια αυτή αυξάνεται). Πράγματι,  η ενέργεια αυτή πριν την αποβολή του σώματος ήταν 25 J, ((1/2)50·1²) ενώ μετά παίρνει την τιμή 631 J ( (1/2)2·25²+ (1/2)48·0,5²).

 

Όμως ένας συμμαθητής μου, πολύ καλός στη φυσική, σε επικοινωνία που είχα μαζί του, μου είπε ότι αυτός έχει βρει άλλη τιμή για την ταχύτητα του τρένου, που δε θέλησε να μου την πει. Αντί γι' αυτό μου είπε ότι,τελικά, το σύστημα έχει κινητική ενέργεια 600 J μικρότερη από αυτήν που έχω βρει.

Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Απάντηση:

Αφού το σώμα πετιέται κάθετα, δεν ασκείται δύναμη πάνω στο τρένο προς την κατεύθυνση κίνησής  του. Επομένως, μετά την εκτόξευση του φορτίου, το τρένο θα κινείται με την ίδια ταχύτητα που είχε πριν (1 m/s). Αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα, που δέχεται το σώμα καθώς απομακρύνεται από το τρένο, θα συνεχίσει να έχει και αυτό, εκτός από την ταχύτητα 0,5 m/s, με την οποία εκτοξεύεται, και την ταχύτητα 1 m/s, που είχε ελάχιστα πριν την εκτόξευση. Έτσι, αμέσως μετά την εκτόξευση, το σώμα θα έχει συνισταμένη ταχύτητα       

                                             v = (1²+0,5²)^1/2 = √ 1,25  m/s.

Επειδή η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή, που σημαίνει ότι παραμένει ακλόνητη στη διάρκεια της εκτόξευσης του φορτίου, το τρένο δεν αποκτά ταχύτητα ανάκρουσης κατά την εκτόξευση του σώματος και έτσι η συνολική ορμή, κάθετα στη διεύθυνση κίνησης, δεν διατηρείται.  

[Βέβαια, για τους λόγους που αναφέρεις, η Α.Δ.Ο  ισχύει στη διεύθυνση κίνησης του τρένου. Η εφαρμογή της, όμως, δεν μας οδηγεί στη σχέση (1) της λύσης σου, αλλά στην (Μ+m)υ = mυ΄+Mυ,  απ’ όπου υ΄= υ = 1 m/s].  

Οπότε φαίνεται ότι ο συμμαθητής σου έχει δίκιο, αφού η κινητική ενέργεια του συστήματος τρένο – φορτίο, αμέσως μετά την εκτίναξη του φορτίου, είναι

                                             (1/2)2·1² + (1/2)48·1,25= 31 J.