Δύο σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι και «το παράδοξο της 2ης κρούσης»

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες τοποθετούνται σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Σπρώχνουμε τις δύο σφαίρες να κινηθούν αντίθετα με ταχύτητες υ_Α και υ_Β, αντίστοιχα. Οι δύο σφαίρες κινούνται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και μετά από χρόνο t₀ συγκρούονται κεντρικά.

α. Σε πόσο χρόνο οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν;

“ Όταν οι πάγοι λιώνουν”

Ένα ανοικτό μικρό βαγόνι κινείται με ταχύτητα υ, χωρίς τριβές και χωρίς αντίσταση από τον αέρα, πάνω στις ράγες μιας ευθύγραμμης σιδηροδρομικής γραμμής. Κάποια στιγμή, καθώς διέρχεται κάτω από μια γέφυρα, αφήνονται από αυτήν να πέσουν κατακόρυφα πάνω στο βαγόνι ένας αριθμός από παγοκολόνες (ίσως ένας έξυπνος τρόπος να φορτώσουμε γρήγορα και με λιγότερο κόπο το βαγόνι). Η κρούση είναι πλαστική.

Ι. Θεωρείστε το σύστημα «βαγόνι - παγοκολόνες». Τι συμβαίνει στις παρακάτω ποσότητες αυτού του συστήματος, καθώς οι παγοκολόνες “φορτώνονται” στο βαγόνι;

α. Στην οριζόντια ορμή του,

β. στην ταχύτητά του,

γ. στην κινητική του ενέργεια.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Κρούση δύο σφαιρών μετά από ελεύθερη πτώση και το παράδοξο του μέγιστου ύψους

Δύο ελαστικές σφαίρες με μάζες m₁  και m₂, αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Αφήνεται πρώτα η σφαίρα μάζας m₁ και αμέσως μετά η σφαίρα μάζας m₂. Η σφαίρα μάζας m₁ προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω. Μόλις αποχωριστεί από το επίπεδο συγκρούεται μετωπικά με την κατερχόμενη   σφαίρα μάζας m₂. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και γίνονται πάνω στην ίδια κατακόρυφο.

α. Για ποια τιμή του λόγου m₂/ m₁ των μαζών, η σφαίρα μάζας m₂, μετά την κρούση, αποκτά το μεγαλύτερο δυνατό ποσοστό της συνολικής ενέργειας του συστήματος;

β. Για ποια τιμή του λόγου m₂/ m₁ των μαζών των δύο σφαιρών, η σφαίρα με μάζα m₂ θα ανέλθει στο μέγιστο δυνατό ύψος;  Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκίνησης. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

 

          Απάντηση:

Κρούση με τριβή, πώς αντιμετωπίζεται

Ένα κιβώτιο μάζας Μ = 5 kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα σώμα μάζας m = 1 kg πέφτει κατακόρυφα πάνω στο κιβώτιο με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s, ακριβώς τη στιγμή που αυτό περνά από κάτω του κινούμενο με ταχύτητα υ₂ = 2 m/s. Η κρούση είναι πλαστική και διαρκεί αμελητέο χρόνο.

Ταυτόχρονη πλάγια κρούση τριών σωμάτων

                                (με αναλυτική λύση, σχόλια και παρατηρήσεις)

Τρία σώματα Α,Β και Γ, με ίσες μάζες, κινούνται με ταχύτητες ίσων μέτρων κατά μήκος των διχοτόμων ενός ισόπλευρου τριγώνου, όπως στο σχήμα, και συγκρούονται ταυτόχρονα στο κέντρο C. Μετά την κρούση, το Α ακινητοποιείται, το Β αντιστρέφει την πορεία του κινούμενο με ταχύτητα ίδιου μέτρο υ, ενώ η ταχύτητα του Γ έχει μέτρο:

Μια πλάγια ελαστική κρούση (από θέμα Ολυμπιάδας Φυσικής)

Δύο σφαίρες, ίσων μαζών, συγκρούονται ελαστικά. Αν υ₁, υ₂ και V₁ και V₂ είναι τα μέτρα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση, αντίστοιχα, και φ η γωνία που σχημάτιζαν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων πριν την κρούση, να βρείτε τη γωνία θ που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων μετά την κρούση.

Γενικό διαγώνισμα στις μηχανικές ταλαντώσεις και στις κρούσεις

                                        (3^ωρο, για πολύ καλά προετοιμασμένους)

Το διαγώνισμα αυτό είναι δύσκολο όχι γιατί περιέχει εξεζητημένα θέματα, αλλά γιατί απαιτεί καλή προετοιμασία ώστε να προλάβετε να απαντήσετε σε όλα τα θέματα μέσα στις τρεις ώρες.

Αποσπάσματα:

Α1. Καθώς μειώνεται το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης με δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ= -bυ:

α. Μειώνεται η περίοδος της ταλάντωσης

β. μειώνεται η ενέργεια που χάνεται σε κάθε περίοδο

γ. μειώνεται η σταθερά απόσβεσης b

δ. αυξάνεται ο ρυθμός μείωσης του πλάτους.

..........................................................................

Α4. Δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Επομένως:

α. μεγαλύτερο μέτρο έχει η μεταβολή της ορμής της σφαίρας με τη μικρότερη μάζα.

β. οι δύο σφαίρες έχουν ίδια μεταβολή στην ορμή τους.

γ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας με τη μεγαλύτερη μάζα είναι μικρότερη από τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας με τη μικρότερη μάζα.

δ. το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση είναι το ίδιο για κάθε σφαίρα.

............................................................................

Β2. Ένα σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση x = 0,3ημ10πt (S.Ι). Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί κατά 5 Ηz, η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης διπλασιάζεται σε σχέση με την αρχική. Επομένως η συχνότητα συντονισμού f₀ του ταλαντωτή είναι:

                     α. f₀ < 5 Hz,        β. f₀  > 10 Hz,           γ. 5Hz < f₀ < 10 Hz

Επιλέξτε την ορθή ανισότητα και αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΠΕΝΤΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΚΡΟΥΣΗ

1. Όπου θα μας απασχολήσει η μέγιστη ισχύς της δύναμης ελατηρίου.

 Σώμα μάζας M = 1kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα.

  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους  A₁ = 3,2 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,21 kgr που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ = 100 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς το βλήμα. Να υπολογίσετε:

2. Πλαστική κρούση με αύξηση της ενέργειας ταλάντωσης; Κι όμως γίνεται!

Σώμα μάζας M = 2,5 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο.

  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους 0,5 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,5 kgr που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ = 30 m/sec, συγκρούεται με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στην αρνητική ακραία θέση του, και σφηνώνεται σ’ αυτό. Να προσδιορίσετε:

α)  Την ενέργεια ...

Συνέχεια ...

3. Όπου το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου είναι ζητούμενο

 Σώμα μάζας M₁ = 1 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου που έχει σταθερά k = 100 Ν/m και το άλλο του άκρο στερεωμένο ακλόνητα.
 Θέτουμε το σώμα αυτό σε α.α.τ. πλάτους Α₁ =√ 2 m.  Ένα άλλο σώμα μάζας Μ₂ = 2 kgr, που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₂ = 20 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο σώμα  στη θέση όπου η κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με το μισό της ενέργειας ταλάντωσης. Το συσσωμάτωμα, που δημιουργείται, ξεκινά μια νέα α.α.τ. με πλάτος Α₂. Η απομάκρυνση του Μ₁ στη θέση της σύγκρουσης είναι θετική και πριν τη σύγκρουση κινούνταν προς τη θετική ακραία θέση, αντίθετα από το Μ₂. Να προσδιορίσετε: 

Συνέχεια ...

4. Ρυθμός μεταβολής του μήκους του ελατηρίου και μηδενισμός της ισχύος της δύναμής του

 Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί αρχικά, δεμένο στο ένα άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου, σώμα μάζας M = 2 kgr. Το ελατήριο έχει σταθερά ελαστικότητας k = 200 Ν/m και η άλλη άκρη του είναι στερεωμένη ακλόνητα.

  Θέτουμε το σώμα αυτό σε α.α.τ. πλάτους Α₁ =√ 2 m. Ένα άλλο σώμα μάζας m = 0,25 kgr, που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₂ = 80 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση όπου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική του. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται ξεκινά μια νέα α.α.τ με πλάτος Α₂. Η απομάκρυνση του Μ στη θέση της σύγκρουσης είναι θετική και πριν τη σύγκρουση κινούνταν προς τη θετική ακραία θέση, αντίθετα από το m.

Α. Να προσδιορίσετε:

Α1. Το ρυθμό μεταβολής του μήκους του ελατηρίου ελάχιστα ... 

Συνέχεια ... 

5. Όπου με κατάλληλη ταχύτητα του ενός σώματος έχουμε τις ελάχιστες δυνατές απώλειες ενέργειας

Σώμα μάζας M = 1 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς  k  = 100 Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. 

  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους  A₁ = 1 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,08 kgr,  που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₁, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση x = -0,6 m, κινούμενο με ταχύτητα υ προς την αρνητική ακραία θέση. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κάνει α.α.τ. με πλάτος Α΄= 1,2 m.

Να υπολογίσετε:  ....

Συνέχεια ...

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

 Πώς μια κρούση στην κατάλληλη θέση καθιστά το πλάτος ταλάντωσης μέγιστο.  

Το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου έχει στερεωθεί στην οροφή ενός δωματίου, ενώ στο κάτω άκρο του έχει προσδεθεί σφαιρικό σώμα Σ₁ μάζας m.  

   Υποβαστάζουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος ℓ₀, και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα Σ₁ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Παρατηρούμε ότι το χαμηλότερο σημείο στο οποίο φτάνει, απέχει από το σημείο που το αφήσαμε 20 cm.

Α.  Υπολογίστε τη συχνότητα της ταλάντωσης και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν περνάει από τη θέση που βρίσκεται 10 cm πιο κάτω από τη θέση που το αφήσαμε. Δίνεται: g = 10 m/sec².

Β. Κάτω από το Σ₁ και σε απόσταση h = 50 cm από τη θέση που το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί,  βρίσκεται ένα άλλο σφαιρικό σώμα Σ₂ ίδιας μάζας με το Σ₁. Το κέντρο του Σ₂ βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που ταλαντώνεται το κέντρο του Σ₁. Κάποια στιγμή το Σ₂ βάλλεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ₀ = 3 m/sec και συγκρούεται κεντρικά κι ελαστικά με το Σ₁. Σε ποια θέση πρέπει να βρίσκεται το Σ₁ τη στιγμή της κρούσης, ώστε μετά από αυτή, το πλάτος της ταλάντωσής του να είναι το μέγιστο δυνατό; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Γ. Πόσο είναι .... 

                                                                          

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση (με τις απαντήσεις)
• Την προτεινόμενη λύση

ΜΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Μια προέκταση της άσκησης 5.41 σελ. 180 του σχολικού βιβλίου

Α.  Να δείξετε ότι μετά την πλάγια ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ίδιας μάζας που το ένα αρχικά ήταν ακίνητο, τα δύο σώματα θα κινηθούν προς κάθετες μεταξύ τους κατευθύνσεις.

Β. Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο τραπέζι ηρεμεί ένα σφαιρίδιο Σ₂ μάζας m = 1 kgr στερεωμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται από ακλόνητο στήριγμα. Ένα δεύτερο σφαιρίδιο Σ₁ ίδιας μάζας με το Σ₂ κινείται με ταχύτητα υ₁ = √ 2 m/sec πάνω σε μια ευθεία που δε διέρχεται από το κέντρο του Σ₂ και σχηματίζει γωνία φ = 135⁰ με τον άξονα του ελατηρίου.  Ακολουθεί πλάγια ελαστική κρούση στο τέλος της οποίας διαπιστώνεται ότι το Σ₂ κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κάνοντας απλή αρμονική ταλάντωση.

   1.  Ποια είναι η διεύθυνση κίνησης του Σ₁ μετά την κρούση;  Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του μετά την κρούση;                                                             

   2.  Να υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα, το πλάτος της ταλάντωσης, και τη μέγιστη επιτάχυνση του Σ₂.                                                                

   3. Να παραστήσετε σε κοινό ορθογώνιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την ταχύτητα.      

Δείτε:

• Την άσκηση, με τις απαντήσεις, σε PDF
• Την προτεινόμενη λύση της                                                               

ΜΙΑ, ΔΥΟ … ΠΟΛΛΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ!

Ένα ελατήριο σταθεράς Κ = 75π² Ν/m είναι κατακόρυφο με το κάτω άκρο του σταθερά στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο πάνω άκρο του ελατηρίου ισορροπεί,  στερεωμένη  σ΄ αυτό,  μια ελαστική σφαίρα  Σ₁ μάζας m₁ = 3 Kgr. Μια άλλη ελαστική σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, συγκρατείται στην προέκταση του κατακόρυφου άξονα του ελατηρίου σε ύψος h = 5 m πάνω από τη Σ₁, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνουμε τη σφαίρα Σ₂ ελεύθερη. Προσκρούει στη Σ₁ και αναπηδά σε ύψος h΄= h/4 πάνω από τη θέση που συνάντησε τη Σ₁. Αν η κρούση είναι μετωπική κι ελαστική, να υπολογίσετε:

   α) Τη μάζα m₂ της σφαίρας Σ₂.

   β) Πόσο είναι το πλάτος και η περίοδος της α.α.τ  της Σ₁;

   γ)  Δείξτε ότι μετά από ένα δευτερόλεπτο οι δύο σφαίρες θα συναντηθούν ξανά στη θέση όπου συγκρούστηκαν για πρώτη φορά, έχοντας, τη στιγμή της συνάντησης, αντίθετες ταχύτητες. 

   δ) Υπολογίστε τις ...

Κατεβάστε από εδώ όλη την άσκηση και από εδώ την απάντηση.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΘΕΜΑ B “ΕΞΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ”

1.  Στην αριστερή στήλη του σχήματος φαίνονται δύο σφαίρες Α και Β αμέσως πριν συγκρουστούν, ενώ στη δεξιά έχουν σχεδιαστεί τρείς περιπτώσεις (1), (2) και (3) για την κατάστασή τους αμέσως μετά την κρούση.

Ποια από αυτές τις περιπτώσεις αντιστοιχεί σε:

i) αδύνατη κατάσταση,

ii) ελαστική κρούση,

iii) ανελαστική κρούση.

Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

Η κρούση θεωρείται κεντρική και οι σφαίρες ολισθαίνουν χωρίς να κυλίονται.

Οι υπόλοιπες ερωτήσεις και οι απαντήσεις εδώ.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΘΕΜΑ Α “ΕΞΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ”

Δύο σφαίρες κινούνται κατά μήκος μιας ευθείας με αντίθετες ορμές και συ­γκρούονται πλαστικά. Άρα:

α. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες θα έχουν αντίθετες ορμές.

β. Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος μηδενίζεται.

γ. Πριν από την κρούση μεγαλύτερη κινητική ενέργεια είχε η σφαίρα με τη μεγαλύτερη μάζα.

δ. Περισσότερο μεταβλήθηκε το μέτρο της ορμής της σφαίρας με τη μεγαλύ­τερη μάζα.

ε. Η σφαίρα με τη μικρότερη μάζα θα χάσει, κατά την κρούση, περισσότερη κινητική ενέργεια.

Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παραπάνω προτάσεις ως σωστή ή λάθος.

Οι υπόλοιπες ερωτήσεις με τις απαντήσεις εδώ.