Μια επαφή που κινδυνεύει να χαθεί ... λόγω κρούσης!

  Ένα ελατήριο, σταθεράς k = 100 N/m, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του με τον άξονά του κατακόρυφο. Στο πάνω άκρο του βρίσκεται στερεωμένος ένας αβαρής οριζόντιος δίσκος και πάνω σ’ αυτόν είναι τοποθετημένο ένα σώμα μάζας m = 1,6 kgr, χωρίς να είναι στερεωμένο με το δίσκο. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Από ύψος h = 20 cm, πάνω από το σώμα που στηρίζεται στο δίσκο, αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα ένα δεύτερο σώμα μάζας ίσης με το πρώτο, το οποίο συγκρούεται πλαστικά με αυτό και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αρχίζει να κάνει  α.α.τ.

α) Να βρείτε την ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

β) Αν το ύψος είναι μεγαλύτερο κάποιου h_o, το συσσωμάτωμα σε κάποια θέση αποσπάται από τον αβαρή δίσκο. Ποια είναι η θέση αυτή;

γ) Υπολογίστε το h_o, ώστε το συσσωμάτωμα να συνεχίσει να εκτελεί την α.α.τ. Δίνεται ότι g = 10 m/sec².

Απ. α) 2,88 J,  β) Α = 24 cm, γ) 32 cm πάνω από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, δηλαδή στη θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος, δ) h_o = 48 cm.

Αναλυτική απάντηση:

Δύο σώματα πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο: Απώλεια επαφής, κ.λ.π

Το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο σε οριζόντιο επίπεδο. Στο άλλο άκρο του συνδέεται σταθερά σώμα Α μάζας Μ. Πάνω στο σώμα Α είναι τοποθετημένο σώμα Β μάζας m και το σύστημα ισορροπεί στη θέση Ι με το ελατήριο συσπειρωμένο από το φυσικό του μήκος κατά (ΙΦ). Στη συνέχεια εκτρέπουμε το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά (ΙΚ) = 2(Μ + m)g/k από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο τη χρονική στιγμή t = 0. Το σύστημα των σωμάτων Α+Β αρχίζει να εκτελεί α.α.τ.

α) Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων θα περάσει από τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ότι στη θέση αυτή θα χαθεί η μεταξύ τους επαφή.

β) Πόση είναι η ταχύτητα που έχουν τα σώματα τη στιγμή της απώλειας επαφής τους;

γ) Ποια χρονική στιγμή θα χαθεί η επαφή των σωμάτων ;

δ) Με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ορμή των σωμάτων τη στιγμή που χάνεται η μεταξύ τους επαφή;

ε) Πόση είναι η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος από τη στιγμή μηδέν μέχρι τη στιγμή που χάνεται η μεταξύ τους επαφή;

Για τις απαντήσεις σας στις ερωτήσεις β, γ, δ και ε θεωρείστε γνωστές τις μάζες των σωμάτων, τη σταθερά του ελατηρίου και την επιτάχυνση βαρύτητας.

Δείτε:

•  Την απάντηση αναλυτικά εδώ.
• Μια ολοκληρωμένη εργασία, με πολλές περιπτώσεις ταλάντωσης δύο σωμάτων σε επαφή, δημοσιευμένη στο Ylikonet από τον εξαίρετο συνάδελφο Σταύρο Πρωτογεράκη.

Ένα σώμα – δύο ελατήρια, σε πλάγιο επίπεδο με μήκος ίσο με το συνολικό μήκος των δύο ελατηρίων.

* Στο σχήμα φαίνονται δύο ελατήρια, που το ένα τους άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο ενώ το άλλο είναι στερεωμένο σε ένα σώμα Σ.  Όλο το σύστημα βρίσκεται πάνω σε ένα λείο πλάγιο επίπεδο. Τα μήκη των (ΑΦ) και (ΓΦ) αντιστοιχούν στα φυσικά μήκη των δύο ελατηρίων του σχήματος. Οι διαστάσεις του σώματος  Σ θεωρούνται αμελητέες.

α) Ποιες είναι οι παραμορφώσεις των δύο ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του σώματος;

β) Τοποθετούμε το σώμα στη θέση Φ και το αφήνουμε ελεύθερο. Δείξτε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ  και υπολογίστε την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

γ) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t =Τ/12. Ως αρχή χρόνων να θεωρήσετε τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο.

Δίνονται: η μάζα του σώματος m=1kgr, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/sec², η γωνία φ = 30^ο  και  ότι  k₂ = k₁ = 25 N/m.

Απ. α) 0,05 m,   0,05 m,  γ) 0,2π sec,  -0,25 m/sec, -2,5√ 3  m/sec²

Αναλυτική απάντηση:

Δυό διαδοχικές ταλαντώσεις ενός σώματος με την ίδια θετική ακραία θέση.

Δυό διαδοχικές ταλαντώσεις ενός σώματος με την ίδια θετική ακραία θέση.

  Το σώμα μάζας m εκτελεί α.α.τ. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι τέτοιο, ώστε όταν το σώμα φτάνει στην ανώτατη θέση του, το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος.

    Κάποια στιγμή, όταν το σώμα βρίσκεται στην ανώτερη θέση του, ενεργεί πάνω του μια κατακόρυφη σταθερή δύναμη F, τέτοια, ώστε η νέα ταλάντωση που ξεκινά το σώμα, να έχει ως κατώτερη θέση τη θέση ισορροπίας της αρχικής. Να προσδιορίσετε τη φορά και το μέτρο της F, καθώς και τα πλάτη της πρώτης και της δεύτερης ταλάντωσης.

Δίνονται: m = 1 Κgr,   k = 100 N/m,   g = 10 m/sec².

Απάντηση:

Η πάνω ακραία θέση της παλαιάς ταλάντωσης, κάτω ακραία θέση της νέας!

Tο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, είναι στερεωμένο ακλόνητα. Στο κάτω άκρο είναι στερεωμένος ένας δίσκος μάζας  Μ=1kgr πάνω στον οποίο βρίσκεται ένα σώμα μάζας m = 2 kgr. Προσφέρουμε στο σύστημα ενέργεια Ε και το θέτουμε σε α.α.τ  πλάτους Α.  Κάποια στιγμή, που το σύστημα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του, αφαιρούμε το σώμα m.

  α) Πόση ήταν η ενέργεια  Ε που προσφέραμε στο σύστημα, αν δίνεται ότι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που θα κάνει ο δίσκος είναι το ίδιο με της αρχικής  ταλάντωσης του συστήματος σώμα-δίσκος; 

  β) Ποια  είναι η συνάρτηση της απομάκρυνσης του δίσκου με το χρόνο, αν ως αρχή χρόνων θεωρηθεί η στιγμή της αφαίρεσης του m; (Πάνω από τη θέση ισορροπίας η απομάκρυνση θεωρείται θετική.)

Δίνεται g=10m/sec_­².
Απάντηση: