6. Αρμονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο και επαγόμενο εναλλασσόμενο ρεύμα

Η ένταση του ομογενούς Μ.Π. του σχήματος έχει φορά κάθετη προς την επιφάνεια του κυκλικού αγωγού και μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τη σχέση:

                              Β = 2ημ50πt  (τo Β σε mTesla και το t σε sec)

Α) Ποια είναι η φορά και το μέτρο του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση R = 10 Ω

α. τη χρονική στιγμή t₁ = 0

β. τη χρονική στιγμή t₂ = 20 msec

γ. τη χρονική στιγμή t₃ = 30 msec

Β) Δείξτε ότι η ωμική αντίσταση R διαρρέεται από αρμονικά εναλλασσόμενο ρεύμα και να υπολογίσετε το ποσό θερμότητας που αποδίδει στο περιβάλλον σε χρόνο t = 10 min.

Θεωρείστε θετική την προς τα εσάς φορά της έντασης του Μ.Π. και το εμβαδόν A της επιφάνειας του κυκλικού αγωγού ίσο με 100π cm². Με προσέγγιση π² = 10. 

Απάντηση:

4. Ρεύμα μεταβλητής έντασης σε ευθύγραμμο αγωγό που περιβάλλεται από τρεις κυκλικούς

α) Χρησιμοποιώντας το νόμο του Lenz, προβλέψτε την κατεύθυνση του επαγόμενου ρεύματος στους αγωγούς 1, 2 και 3, όταν το ρεύμα στο σύρμα μειώνεται σταθερά. (Το επίπεδο του αγωγού 3 είναι κάθετο στον ευθύγραμμο αγωγό του οποίου το μήκος να θεωρηθεί πολύ μεγάλο).

β) Αν οι αγωγοί 1 και 2 βρίσκονται μαζί με τον ευθύγραμμο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, να εξετάσετε αν θα πλησιάσουν ή θα απομακρυνθούν μεταξύ τους.

2. Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο και ομογενές κυλινδρικό μαγνητικό πεδίο

Τμήμα ενός τετράγωνου συρμάτινου πλαίσιου βρίσκεται μέσα σε ένα κυλινδρικό ομογενές μαγνητικό πεδίο, ακτίνας r = 10 cm, με την επιφάνειά του κάθετη στις δυναμικές του γραμμές. Κάθε πλευρά του πλαίσιου έχει ωμική αντίσταση R = 10 Ω. Η ένταση του Μ.Π. ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό dB/dt = 0,02 T/s.

α) Να εξηγήσετε γιατί το πλαίσιο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα.

β) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος και να σχεδιάσετε τη φορά του. 

Μερικά Β Θέματα ηλεκτρομαγνητισμού

1. Ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους και κυκλικός αγωγός αμελητέας ακτίνας

Ένας πολύ μικρός κυκλικός αγωγός εμβαδού Α = 1 mm² βρίσκεται σε απόσταση ℓ = 20 cm από ευθύγραμμο πολύ μεγάλου μήκους αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα έντασης i = 10 A για χρόνο 0,1 s. Να βρείτε την ΗΕΔ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο κυκλικό πλαίσιο.

7. Κυκλικός αγωγός κινείται μέσα σε Ο.Μ.Π και παραμορφώνεται

Ο κυκλικός συρμάτινος αγωγός έχει ακτίνα r = 10 cm, αντίσταση R = 10 Ω και κρέμεται από το σταθερό σημείο Α, έχοντας το επίπεδό του κατακόρυφο και κάθετο στις δυναμικές γραμμές οριζόντιου ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης Β = 0,1 Τ. Κάποια στιγμή αρχίζουμε να τραβάμε προς τα κάτω το σημείο Γ με σταθερή ταχύτητα υ = 10 m/s, όπως στο σχήμα. Ποια είναι η μέση τιμή του επαγωγικού ρεύματος που θα δημιουργηθεί; Δίνεται π = 3,14. 

Κινούμενη ράβδος – δύο διακόπτες

Οι μεταλλικοί αγωγοί ΑΒ και ΓΔ του σχήματος έχουν πολύ μεγάλο μήκος, αμελητέα αντίσταση και είναι παράλληλοι με το επίπεδό τους κατακόρυφο. Συνδέουμε τα άκρα τους Α και Γ μέσω ανοικτού διακόπτη δ₁ με σύρμα αντίστασης R = 10 Ω. Το ίδιο κάνουμε και με τα άκρα Β και Δ. Πάνω στο επίπεδο των δύο αγωγών είναι τοποθετημένος, κάθετα προς τη διεύθυνση τους, άλλος ευθύγραμμος αγωγός ΜΝ μήκους ℓ = 1 m, ο οποίος μπορεί να ολισθαίνει με τα άκρα του σε συνεχή επαφή με αυτούς, χωρίς τριβές. Η μάζα του αγωγού ΜΝ είναι m = 0,6 kg και η αντίσταση του ασήμαντη. Το σύστημα όλων των αγωγών βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο, του οποίου η μαγνητική επαγωγή (ένταση) Β = 2T είναι κάθετη στο επίπεδό τους. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 ο αγωγός ΜΝ τίθεται σε κίνηση με την επίδραση κατακόρυφης προς τα πάνω σταθερής δύναμης F = 10 Ν και λίγο μετά, τη χρονική στιγμή t₁, κλείνουμε τον διακόπτη δ₁. Διαπιστώνουμε τότε ότι από τη στιγμή t₁ κι έπειτα ο αγωγός κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₁, ίση με εκείνη που είχε τη στιγμή t₁ .

α) Να βρείτε: τη χρονική στιγμή t₁, την ταχύτητα υ₁ και την ένταση του ρεύματος Ι₁.

β) Τη στιγμή t₂ = 2t₁ κλείνουμε και τον διακόπτη δ₂. Να κάνετε το διάγραμμα Ε_επ-t για το χρονικό διάστημα από τη στιγμή 0 ως τη στιγμή t₂ και να υπολογίσετε το φορτίο που διακινήθηκε μέσα στο κύκλωμα στο ίδιο χρονικό διάστημα.

γ) Να περιγράψετε την κίνηση του αγωγού μετά τη στιγμή αυτή και να δείξετε ότι θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα την οποία και να υπολογίσετε.

δ) Να υπολογίσετε τη θερμότητα που ελευθερώνεται σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος στο χρονικό διάστημα 0 → t₂.

ε) Κάποια χρονική στιγμή t₃, κι ενώ ο αγωγός κινείται με την παραπάνω οριακή ταχύτητα, καταργούμε τη δύναμη F.  Να μελετήσετε την κίνηση του αγωγού μετά τη στιγμή t₃ και να υπολογίσετε τη μέγιστη μεταβολή στην ορμής του από τη στιγμή t₃ και έπειτα.

Το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας είναι g = 10 m/s². 

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. από μεταβλητή δύναμη

Τα άκρα δύο παράλληλων οριζόντιων σιδηροτροχιών συνδέονται με σύρμα αντίστασης R = 2 Ω. Αγωγός μήκους ℓ = 1 m, όση είναι και η απόσταση των σιδηροτροχιών, μάζας M = 0,5 kg και αμελητέας αντίστασης θέλουμε να ολισθαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = 4 m/s², πάνω στις σιδηροτροχιές. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 ο αγωγός είναι ακίνητος:

α) Να γίνει η γραφική παράσταση της εξωτερικής δύναμης, που πρέπει να ασκούμε κάθετα στο μέσον του αγωγού για την κίνηση του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Τη χρονική στιγμή t1 = 1 s να υπολογιστούν:

Ι.  Ο  ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στη  ράβδο, μέσω του έργου της δύναμης F, καθώς και η αντίστοιχη ισχύς της δύναμης Laplace.

ΙΙ. Η ηλεκτρική ισχύς που εμφανίζεται στο κύκλωμα, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

Λύση:

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. με τριβή 2η

Μεταλλική ράβδος μάζας m = 2 kg μήκους ℓ = 1 m και αντίστασης r = 2 Ω μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε δύο παράλληλα σύρματα που βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση ℓ. Τα άκρα των συρμάτων συνδέονται με αντίσταση R = 8 Ω και όλη η διάταξη βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. αν δώσουμε στη ράβδο αρχική ταχύτητα υ₀ = 20 m/s και η ράβδος σταματήσει μετά από διαδρομή s = 5 m, να βρεθούν:

α) Η αρχική ΗΕΔ από επαγωγή στα άκρα της ράβδου

β) Η αρχική επιβράδυνση της ράβδου και

γ) Η θερμότητα ου παράγεται σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος.

Δίνεται ότι κατά την κίνηση της ράβδου υπάρχει τριβή Τ = 40 N.

Λύση:

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. με τριβή 1η

Στα άκρα Α και Γ των μεταλλικών ράβδων ΑΒ και ΓΔ συνδέεται αντίσταση R= 1,5 Ω. Μια τρίτη ράβδος ΜΝ με μήκος ℓ = 0,4m και αντίσταση r = 0,1 Ω. σύρεται με σταθερή δύναμη F = 1 Ν, που είναι παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο το οποίο ορίζουν οι ράβδοι AΒ και ΓΔ. Κατά την κίνηση η ράβδος MΝ διατηρείται κάθετη στις άλλες ράβδους και έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= 10 m/sec. Το οριζόντιο επίπεδο των ράβδων είναι κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, με ένταση Β = 0,8 Tesla και οι αντιστάσεις των ράβδων ΑΒ και ΓΔ είναι αμελητέες,

α) Να δείξετε εμφανίζεται  δύναμη τριβής κατά την κίνηση της ράβδου MΝ και να υπολογίσετε το μέτρο της.

β) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο προσφέρει ενέργεια στο σύστημα ο εξωτερικός παράγοντας που κινεί τη ράβδο MΝ.  

γ) Με ποιο ρυθμό μετατρέπεται ενέργεια εξαιτίας της τριβής και των αντιστάσεων R. r του κυκλώματος,

δ) Ποια μετατροπή ενέργειας μετράει το έργο που αντιστοιχεί στη δύναμη Laplace,

ε) Ποια είναι η διαφορά δυναμικού στα άκρα της ράβδου ΜΝ και γιατί αυτή διαφέρει από την επαγωγική ΗΕΔ Ε_επ; 

Λύση:

Μαγνήτης, πηνίο, πυξίδα

Προς ποια κατεύθυνση πρέπει να κινηθεί ο μόνιμος μαγνήτης στην προέκταση του  άξονα ενός σωληνοειδούς, ώστε η μαγνητική βελόνα να έχει τον προσανατολισμό που φαίνεται στο σχήμα; 

Απάντηση:

Ορθογώνιο πλαίσιο περιστρέφεται σε ομογενές Μ.Π. 1ο

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο περιστρέφεται μέσα σε ομογενές  μαγνητικό πεδίο γύρω από έναν άξονα παράλληλο με τις γραμμές μαγνητικού πεδίου. Αναπτύσσεται σε αυτή την περίπτωση ΗΕΔ από επαγωγή στο πλαίσιο; 

Απάντηση:

Ευθύγραμμος αγωγός και ορθογώνιο πλαίσιο 2ο

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο ABΓΔ εκτελεί μεταφορική κίνηση στο μαγνητικό πεδίο ενός ρεύματος που ρέει κατά μήκος ευθύγραμμου αγωγού ΟΟ΄ μεγάλου μήκους. Αγωγός και πλαίσιο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Βρείτε την κατεύθυνση του ρεύματος που προκαλείται στο πλαίσιο αν απομακρύνεται από τον αγωγό. 





Απάντηση:

Ένα από τα πειράματα που πραγματοποίησε ο Lenz για την επαλήθευση του περίφημου «κανόνα» του

Στο έργο του "Πώς να προσδιορίσετε την κατεύθυνση των επαγόμενων ρευμάτων", όπου ο διάσημος κανόνας του Lenz καθορίστηκε για πρώτη φορά, ο ακαδημαϊκός H.F.E. Lenz περιγράφει μερικά από τα πειράματα που πραγματοποίησε για να καθορίσει την κατεύθυνση των επαγόμενων ρευμάτων. Ένα από αυτά είναι η περίπτωση ενός επαγόμενου ρεύματος παραγόμενου σε έναν κυκλικό αγωγό Α όταν αυτός περιστρέφεται κατά 90° σε σχέση με έναν άλλο κυκλικό αγωγό Β ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα. Καθορίστε την κατεύθυνση του επαγόμενου ρεύματος στον κυκλικό αγωγό Α αν περιστραφεί από μία θέση κάθετη στον αγωγό Β σε θέση παράλληλη προς αυτόν, όπως υποδεικνύεται από το βέλος.

Απάντηση:

Προσδιορισμός της κατεύθυνσης επαγόμενου ρεύματος

Ο νότιος πόλος ενός μαγνήτη απομακρύνεται με μια ορισμένη ταχύτητα από ένα μεταλλικό δακτύλιο όπως φαίνεται στο σχήμα. Προσδιορίστε την κατεύθυνση του επαγόμενου ρεύματος στο δακτύλιο. 

Απάντηση:

Μια μη μαγνητισμένη ράβδος σιδήρου εισέρχεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο πηνίου

Μια μη μαγνητισμένη ράβδος σιδήρου αφήνεται από κάποιο ύψος να πέσει κινούμενη κατά μήκος της κατακορύφου που ταυτίζεται με τον άξονα ενός πηνίου με οριζόντιες σπείρες, συνδεδεμένου με μια ηλεκτρική μπαταρία και ένα αμπερόμετρο, όπως στο σχήμα. Σχεδιάστε κατά προσέγγιση ένα διάγραμμα i – t της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο με το χρόνο καθώς η ράβδος διέρχεται μέσα από αυτό. 

Απάντηση: