Επαγωγικό ρεύμα σε κυκλικό αγώγιμο βρόχο

"Το επαγωγικό ρεύμα σε κυκλικό αγώγιμο βρόχο, εντός ομαλά μεταβαλλόμενου Μ.Π., εξαρτάται μόνο από τη μάζα και από τη φύση του υλικού του"

Τα δύο χάλκινα δακτυλίδια στα σχήματα α και β, με διαφορετικές διαμέτρους D₁ και D₂ και διαφορετικές διατομές Α₁ και Α₂, έχουν ίδια μάζα m. Το καθένα βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με την επιφάνειά του κάθετη προς τις δυναμικές του γραμμές. Αν η ένταση κάθε μαγνητικού πεδίου μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό έτσι ώστε dB₁/dt = dB₂/dt = λ, σε ποιο δακτυλίδι αναπτύσσεται μεγαλύτερο επαγωγικό ρεύμα;

Δίνεται ότι η ωμική αντίσταση ενός ομογενούς αγωγού σταθερής διατομής παρέχεται από τη σχέση R = ρℓ/Α, όπου ρ η ειδική αντίστασή του, ℓ το μήκος του και Α η διατομή του.

Αγώγιμος κυκλικός βρόχος πέφτει σε μαγνητικό πεδίο

Ένας αγώγιμος κυκλικός βρόχος, κατασκευασμένος από σύρμα αντίστασης R και μάζας m, πέφτει από μεγάλο ύψος μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο του οποίου οι δυναμικές γραμμές  παρουσιάζουν τη συμμετρία που βλέπετε στο σχήμα. Σε αυτό το μαγνητικό πεδίο, η κατακόρυφη συνιστώσα έχει σταθερή φορά προς τα πάνω και μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση B_z = B₀(1 + λz), όπου λ είναι κάποια σταθερά. Ο βρόχος, με εμβαδόν επιφάνειας S, σε όλη τη διάρκεια της πτώσης του παραμένει οριζόντιος, παράλληλος  προς το επίπεδο xy. 
Να δείξετε ότι ο βρόχος θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα και να την υπολογίσετε.
Αγνοείστε την αντίσταση του αέρα και το μαγνητικό πεδίου του επαγόμενου ρεύματος. 
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.  

Μια δύναμη Laplace ιδιαίτερη

 Ένας ισχυρός ραβδόμορφος μαγνήτης τοποθετείται κάτω από έναν οριζόντιο αγώγιμο δακτύλιο ακτίνας r, που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο άξονας του μαγνήτη συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του δακτυλίου. Αν η ένταση του μαγνητικού πεδίου του μαγνήτη, στην περιοχή της περιφέρειας του δακτυλίου, έχει μέτρο Β και η κατεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, (α) ποιο είναι το μέτρο και (β) ποια είναι η κατεύθυνση της προκύπτουσας μαγνητικής δύναμης στον δακτύλιο;  

Πηγή: Serway/Jewett

Γιατί στο νόμο της επαγωγής του Faraday δεν λαμβάνουμε υπόψη και τη μαγνητική ροή του επαγόμενου ρεύματος;

Ερώτηση μαθητή: 

"Σε μια θέση που χαρακτηρίζεται από γωνία φ, η μαγνητική ροή στο πλαίσιο προέρχεται εν μέρει από το εξωτερικό πεδίο με σταθερή ένταση Β και εν μέρει από το μαγνητικό πεδίο του επαγόμενου ρεύματος. Γιατί στο νόμο της επαγωγής του Faraday δεν λαμβάνουμε υπόψη και τη μαγνητική ροή του επαγόμενου ρεύματος;"

Πλαίσιο στρεφόμενο γύρω από άξονα που τέμνει πλάγια τις δυναμικές γραμμές Ο.Μ.Π.

Οι δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου σχηματίζουν γωνία φ = 60^ο με το οριζόντιο επίπεδο. Για τη μέτρηση της έντασης του πεδίου χρησιμοποιούμε ένα κυκλικό πλαίσιο, το οποίο συνδέεται με ευαίσθητο γαλβανόμετρο. Το πλαίσιο αποτελείται από Ν = 10 σπείρες που καθεμιά έχει εμβαδόν S = 5 cm². Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R = 4 Ω. Τοποθετούμε το πλαίσιο μέσα στο πεδίο, ώστε το επίπεδο των σπειρών του να είναι κατακόρυφο και παράλληλο προς τις δυναμικές γραμμές. Όταν το πλαίσιο στραφεί κατά γωνία θ = 90^ο γύρω από την κατακόρυφη διάμετρό του, το γαλβανόμετρο μετράει φορτίο Q = 200 μCb.

α. Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου

β. Ποιο ηλεκτρικό φορτίο θα μετρήσει το γαλβανόμετρο, αν το πλαίσιο στραφεί κατά την ίδια γωνία θ = 90^ο γύρω από την οριζόντια διάμετρό του;

γ. Αν στρέφουμε το πλαίσιο γύρω από την κατακόρυφη διάμετρό του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 60 r/s. Na υπολογίσετε το ποσό θερμότητας που ελευθερώνεται ανά λεπτό από την αντίσταση του συστήματος.

Να μη ληφθεί υπόψη το γήινο μαγνητικό πεδίο. 

Απάντηση:

Ένα τέταρτο θέμα με ράβδο που κινείται κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

Δύο παράλληλοι αγωγοί Αχ και Γψ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ℓ = 1 m. Τα άκρα Α και Γ των δύο αγωγών, οι οποίοι έχουν αμελητέα ωμική αντίσταση, συνδέονται με σύρμα ωμικής αντίστασης R₁ = 1 Ω. Κατά μήκος των δύο αγωγών και καθέτως προς τη διεύθυνσή  τους μπορεί να ολισθαίνει μια πρισματική μεταλλική ράβδος μήκους ℓ = 1 m, με μάζα m = 0,1 kg και ωμική αντίσταση R₂ = 1 Ω, έχοντας συνεχώς τα άκρα της σε επαφή με αυτούς. Κατά την κίνησή της εμφανίζεται δύναμη τριβής Τ= 2 Ν. Η διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. H ράβδος ηρεμεί και τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται πάνω της σταθερή εξωτερική δύναμη F = 3 Ν, παράλληλη προς τους αγωγούς. Η ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται και αφού διανύσει διάστημα s = 1,6 m αποκτά μια μέγιστη σταθερή (οριακή) τιμή. Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της οριακής ταχύτητας της ράβδου.

β. Το ποσό θερμότητας που αναπτύχθηκε σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος από τη στιγμή t = 0 μέχρις ότου η ράβδος αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

γ. Το φορτίο που διακινήθηκε μέσα από μια διατομή της ράβδου μέχρι να σταθεροποιηθεί η ταχύτητά της.

δ. Ο χρόνος κίνησης της ράβδου μέχρι να αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

ε. Η τάση στα άκρα της ράβδου όταν η ταχύτητά της σταθεροποιηθεί.

 στ. Ο ρυθμός με τον οποίο ελευθερώνεται θερμότητα στο όλο σύστημα όταν η ράβδος  κινείται με ταχύτητα υ =υ_ορ/2. 

8. Αναζητώντας τη στιγμή όπου η δύναμη Laplace σε αγωγό, που κινείται ισοταχώς, παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή

Σε ένα ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο πλάτους ℓ και πολύ μεγάλου μήκους, η μία πλευρά του, μήκους ℓ, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα άκρα της σε διαρκή επαφή με τις γειτονικές της πλευρές. Το πλαίσιο είναι τοποθετημένο κάθετα σε ένα ομογενές Μ.Π. έντασης Β. Κάθε μέτρο από το σύρμα του πλαίσιου παρουσιάζει ωμική αντίσταση r. Τοποθετούμε την κινητή πλευρά του πλαίσιου σε αμελητέα απόσταση από την απέναντι της και τη στιγμή t = 0, με κατάλληλο μηχανισμό, τη θέτουμε σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ κατά μήκος των δύο άλλων.

α. Να δείξετε ότι το πλαίσιο θα αρχίσει να διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα και, με γνωστά τα μεγέθη που αναφέρονται στην εκφώνηση, να βρείτε τη σχέση με το χρόνο t της δύναμης Laplace πάνω στην κινούμενη πλευρά.

β. Ποια χρονική στιγμή το μέτρο της δύναμης Laplace θα γίνει ίσο με το μισό του μέτρου της αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t = 0;