Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Τετάρτη 23 Απριλίου 2014

5. Συμπεράσματα από ένα στιγμιότυπο τρέχοντος κύματος.

Kατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x΄x, έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,3 m. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x΄x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση του. Έτσι, στο στιγμιότυπο της στιγμής t = 0, που φαίνεται στο σχήμα, από τη θέση x = 0 διέρχεται μια κοιλάδα του κύματος.
Α. Να δείξετε πάνω στο σχήμα ποια είναι η φορά των ταχυτήτων των υλικών σημείων Β και Γ.
B. Δίνεται ΒΓ=25 cm και ότι το σημείο Γ θα φτάσει για πρώτη φορά στην κάτω ακραία θέση τη στιγμή t1 = 0,45 s.
Β1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μέτρο των ταχυτήτων των Β και Γ και την επιτάχυνση του Ο τη στιγμή t = 0.
B2. Να εξετάσετε αν το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση ψ = 0,2ημω(t -x/υ).
B3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος μεταξύ των θέσεων Β και Γ τη στιγμή t1=0,15 s.

Δευτέρα 21 Απριλίου 2014

6. Αρμονικό κύμα σε χορδή απείρου μήκους και αρμονική ταλάντωση δύο σημείων της.
Πάνω σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον διαδίδεται ένα απλό αρμονικό κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου ορίζεται ως αρχή αξόνων. Κάποια στιγμή παρατηρούμε ότι οι φάσεις δύο σημείων Α και Β με συντεταγμένες xA = +17,25 m και xB = +10 m είναι, αντίστοιχα,     ΦΑ = +7π και ΦΒ = +36π.
Α. Να βρείτε το μήκος κύματος λ.
Β.  Αν δίνεται ότι για τις χρονικές στιγμές tA και tB, που για πρώτη φορά τα σημεία Α και Β διέρχονται από τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή τους,  ισχύει: tA – tB = 7,25 sec, και ότι η αρχή αξόνων ξεκινά την ταλάντωσή της τη χρονική στιγμή t = 0, χωρίς αρχική φάση, με πλάτος 0,2 m,  να βρείτε:
Β1. Την περίοδο ταλάντωσης της πηγής, και
Β2. Την εξίσωση του κύματος που δημιουργείται πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσον. 
Γ. Κάποια στιγμή, έστω t1, το υλικό σημείο Α έχει ταχύτητα  υΑ = -0,8π m/s. Ποια είναι η απομάκρυνση του υλικού σημείου Β τη στιγμή αυτή;

Παρασκευή 18 Απριλίου 2014


    7. Δύο σύγχρονες πηγές σε τεντωμένη χορδή απείρου μήκους με περιορισμένο το χρόνο λειτουργίας της μιας
Μια τεντωμένη χορδή απείρου μήκους ταυτίζεται με τον άξονα x΄ox. Στη θέση x = 0 υπάρχει πηγή κύματος Π1,  η οποία τη στιγμή t = 0 αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση ψ = Αημωt.
 Έτσι δημιουργούνται δύο κύματα που διαδίδονται το ένα προς τη θετική κατεύθυνση και κατά  μήκος του ημιάξονα Οx και το άλλο προς την αρνητική κατεύθυνση επί του ημιάξονα  Οx΄.
Στο σχήμα παριστάνονται δύο στιγμιότυπα αυτών των κυμάτων τις χρονικές στιγμές  t1=0,6 s, t2 = 0,9 s.
Α. Με ποια ταχύτητα διαδίδονται τα δύο κύματα που δημιουργούνται και ποιες είναι οι εξισώσεις τους;
Β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο των κυμάτων τη χρονική στιγμή t3 = 1,2 s.
Γ.  Έστω ότι στη θέση x = +2,8 m υπάρχει και μια δεύτερη πηγή Π2, που ξεκινάει, όπως και η πηγή Π1, τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση ίδια με της Π1.
Γ1. Να προσδιορίσετε το πλάτος της ταλάντωσης  ενός υλικού σημείου Σ της χορδής, για το οποίο xΣ = +3 m, μετά τη συμβολή των κυμάτων σ’ αυτό. 
Γ2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό και τις θέσεις των υλικών σημείων, που βρίσκονται μεταξύ των δύο πηγών και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει, τα οποία θα αποκτήσουν ενέργεια ταλάντωσης τετραπλάσια από την ενέργεια του Σ μετά τη συμβολή των κυμάτων.

Πέμπτη 17 Απριλίου 2014

      8. Αξιοποιώντας τους  χρόνους άφιξης των κυμάτων δύο σύγχρονων πηγών σε ορισμένο σημείο, για τη μελέτη της συμβολής τους

Σε δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας ενός υγρού, που αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 οι οποίες, τη  στιγμή t = 0, αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση ψ = Αημωt η καθεμιά, με αποτέλεσμα τη δημιουργία  δύο αρμονικών κυμάτων. Σε ένα σημείο Ρ της επιφάνειας του υγρού βρίσκεται ένα μικρό κομμάτι φελλού και τα κύματα των δύο πηγών Π1 και Π2 φτάνουν σ’ αυτό τις χρονικές στιγμές t1 και t2, αντίστοιχα.
A. Να δείξετε ότι η εξίσωση ταλάντωσης του φελλού, μετά τη συμβολή των κυμάτων στο σημείο Ρ, είναι:
B. Έστω Α = 0,1 m, ω =2π r/s και η ταχύτητα διάδοσης υ = 0,25 m/s, τότε: 
Β1. Αν για το Ρ ισχύει t1 = 2 s και t2 = 6 s, να δείξετε ότι το Ρ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής των κυμάτων.
Β2. Αν ΑΒ = 1,2 m, να προσδιορίστε τη θέση ενός σημείου Ρ΄,  που βρίσκεται στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης με το Ρ και πάνω στην ευθεία του ΑΒ.
Γ. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα απομάκρυνσης – χρόνου για  το φελλό σε βαθμολογημένους άξονες, για t ≥ 0.

Τετάρτη 16 Απριλίου 2014

9. Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και ένας δέκτης – ανιχνευτής

Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, Π12, απέχουν μεταξύ τους απόσταση       L = 36 m. Σε μια θέση Α, που απέχει από τη μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 απόσταση 42 m και από την πηγή Π1 απόσταση 51 m, βρίσκεται ένας δέκτης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.
Α. Για ποιες συχνότητες ο δέκτης στη θέση Α δε λαμβάνει σήμα;
Β. Για ποιες συχνότητες ο δέκτης στη θέση Α θα λαμβάνει ενισχυτικό σήμα;
Γ. Εάν fα,min η ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών ώστε τα κύματα να συμβάλλουν αποσβεστικά στο σημείο Α και fε,min η ελάχιστη δυνατή συχνότητα ταλάντωσης των πηγών ώστε τα κύματα να συμβάλλουν ενισχυτικά στο Α, να δείξετε ότι fα,min/ fε,min = ½.
Δ. Έστω ότι ο δέκτης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, έρχεται από πολύ μακριά κινούμενος πάνω σε μια ευθεία (ε) παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι δύο πηγές, με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα και καταγράφει την πρώτη απόσβεση στη θέση Α (σε καμιά από τις προηγούμενες θέσεις δεν καταγράφεται απόσβεση). Μετά τη θέση αυτή και μέχρι τη μεσοκάθετο καταγράφει άλλη μια απόσβεση.
Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι c = 3.108 m/s.

Τρίτη 15 Απριλίου 2014

10. Ανίχνευση κύματος, ορισμένης συχνότητας, με πλάτος πάνω από μια ελάχιστη τιμή 
Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή  πολύ μεγάλου μήκους,  προσανατολισμένη  στη διεύθυνση του άξονα xx΄, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος λ = 10 m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση x = 0 και ξεκινάει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση:
 ψ =2ημ(0,5πt)  (οι μονάδες των μεγεθών στο S.I).
 Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση x=100 m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος, η οποία μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας fs = 3393 Ηz.
 Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με -2,5 m/s2 (από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).
 Ένας δέκτης A βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά αυτή ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσης του:
Α. Ποια είναι η εξίσωση του κύματος που παράγεται πάνω στη χορδή;
Β. Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη μικροσυσκευή;                          
Γ. Ποια στιγμή αρχίζει να εκπέμπει η μικροσυσκευή;
Δ. ....
Ε.  ....
ΣΤ.  ....

Κυριακή 9 Φεβρουαρίου 2014

Η ΤΡΙΒΗ ΣΤΑ ΚΑΛΥΤΕΡΑ ΤΗΣ! ΠΏΣ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΙ ΜΙΑ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΘΕΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ



Μου πήρε πολύ χρόνο, αλλά τελικά βγήκε! Φθίνουσα ταλάντωση με τριβή σταθερού μέτρου… Μια εργασία που την προετοίμαζα σιγά-σιγά, μαζεύοντας και επεξεργαζόμενος προσεκτικά το σχετικό υλικό. Δεν αποφάσιζα όμως να στρωθώ και να αποδώσω το θέμα με τον δικό μου τρόπο. Έβλεπα ότι ήθελε πολύ κουράγιο και πολλές ώρες δουλειάς.

   Ώσπου ένα … προσκλητήριο γάμου και μια θύμηση με ενεργοποίησε.  Μου το ενεχείρησε μια παλιά μου μαθήτρια, η Χρύσα, μετά από μια συνάντηση για καφέ, όπου με γνώρισε στον μέλλοντα σύζυγό της. Μου θύμισε πολλά που τα 'χα ξεχάσει, ανάμεσα σ’ αυτά και το περιστατικό με τη φθίνουσα. Όμως αυτό το θυμόμουν αρκετά καλά, γιατί ως ανταμοιβή στην προσφορά της, της είχα φτιάξει μια άσκηση που την έδινα κάθε χρόνο στους  επόμενους μαθητές της Τρίτης. (Πολλούς μαθητές μου τους θυμάμαι μ’ αυτό τον τρόπο: Από μια απορία που διατύπωσαν, ή από μια άσκηση που δημιουργήθηκε εξαιτίας τους). Το μάζευα το υλικό αυτό και το έδινα στους νεότερους, έτσι για να βλέπουν τα κατορθώματα των «παλιών». 

    Όταν την πληροφόρησα ότι στις τελευταίες εξετάσεις το 3ο θέμα μπορούσε να λυθεί με βάση την άσκηση αυτή, έσκασε στα γέλια.

   -Έχω ένα αδελφάκι, μου λέει, φέτος  αυτό είναι στη Γ΄ Λυκείου, κρίμα που δε θα τη χρειαστεί.

   Πέρασαν από τότε δύο μήνες, … ο μήνας του Μέλητος για το νέο ζευγάρι κι άλλος ένας ακόμη. Το πήρα απόφαση και στρώθηκα στη δουλειά. Έπρεπε να ολοκληρώσω ό,τι είχε, πριν χρόνια, αρχίσει με τη Χρύσα.