Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Σάββατο 19 Μαΐου 2012

ΡΑΒΔΟΣ ΚΑΙ ΤΡΟΧΟΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ



Ο τροχός αποτελείται από ένα στεφάνι μάζας 4 kgr ακτίνας 0,25 m το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ, με τη βοήθεια μεταλλικών ακτίνων αμελητέας μάζας. Ο άξονας του τροχού προσαρτάται στην οριζόντια ράβδο ΟΚ μάζας m = 3 kgr που το άκρο της Ο είναι αρθρωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Αν το σύστημα αφήνεται από την ηρεμία με τη ράβδο αρχικά οριζόντια, όπως φαίνεται στο σχήμα  και αν ο τροχός κυλίεται στην κυλινδρική επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρο Κ του τροχού όταν φτάνει στην κατώτερη θέση Κ΄.

Δίνονται: OK = R = 0,5 m, ΟC = 0,3 mIράβδου(Ο) = 0,32 kgr.m2 και g = 10 m/s2 και ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Οι τριβές στο άξονα περιστροφής και στην άρθρωση είναι αμελητέες.

Δείτε:

Παρασκευή 18 Μαΐου 2012

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ, ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ

 To σύστημα του σχήματος αποτελείται από το σώμα Σ με mΣ = 8kg, την τροχαλία Π1 και τον τροχό Π2 με μάζες m1 = 1kg, m2 = 4kg και ακτίνες R1 = 0,1 m, R2 = 0,2 m, αντίστοιχα.
Αν γνωρίζετε ότι το σύστημα των τριών σωμάτων τίθεται σε κίνηση τη στιγμή t = 0 με το Σ να ολισθαίνει προς τα κάτω, ότι ο τροχός Π2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα επάνω, και η τροχαλία Π1 στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό άξονα με το νήμα να μην ολισθαίνει στην περιφέρεια της, να μελετήσετε την κίνηση του συστήματος απαντώντας στα παρακάτω ερωτήματα:
Α.  Να βρείτε την επιτάχυνση αΣ του σώματος Σ, εάν την χρονική στιγμή t1 = 2s o τροχός Π2 έχει εκτελέσει  5/π περιστροφές. 
Β. Να υπολογίσετε τις τάσεις των νημάτων καθώς και τη στατική τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ του δαπέδου και του τροχού.
Γ. Να υπολογίσετε τις στροφορμές της τροχαλίας Π1 και του τροχού Π2 όταν το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα ...

Δείτε:

Δευτέρα 14 Μαΐου 2012

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ


Στάσιμο κύμα, με στοιχεία ταλάντωσης, σε χορδή συγκεκριμένου μήκους  
Μια τεντωμένη οριζόντια χορδή ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Το άκρο Α είναι ακλόνητα στερεωμένο, ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση x = 0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση x = 0 εμφανίζεται κοιλία και το υλικό σημείο του μέσου στη θέση αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σημείο x = 0 βρίσκεται στη θέση μηδενικής απομάκρυνσης κινούμενο κατά τη θετική φορά. Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του συγκεκριμένου στάσιμου κύματος τη στιγμή κατά την οποία όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσής τους. Η μέγιστη απόσταση μεταξύ της πρώτης κοιλίας και του δεύτερου δεσμού είναι 0,1 10 m. Ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται κάθε υλικό σημείο του ελαστικού μέσου που ταλαντώνεται, για να διέλθει δύο φορές από τη θέση ψ1 =||/2 είναι Δt =1/60 sec, όπου |Α΄| είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου.
Α.  Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος.
Β.  Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης μιας κοιλίας, όταν έχει απομάκρυνση  ψ1 = 6.10-2 m.
Γ.  Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής, εάν στο στάσιμο κύμα έχουν δημιουργηθεί οκτώ  δεσμοί  (συμπεριλαμβανομένου και του δεσμού στο άκρο Α).
Δ.  Εάν η συχνότητα των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα γίνει  f = 20/3 Hz να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών που σχηματίζονται στην ίδια χορδή, με δεδομένο ότι στην αρχή της χορδής έχουμε πάλι κοιλία και στο τέλος δεσμό. Δίνεται π2 = 10.

Δείτε:




Παρασκευή 11 Μαΐου 2012


Δυο σώματα, δύο ελατήρια, μια πλαστική κρούση και ένα κύμα

Οι σταθερές των δύο ελατηρίων του σχήματος είναι k1= 100 N/m και k2 = 300 N/m, ενώ οι μάζες των σωμάτων Σ1 και Σ2 είναι m1 = 1 kgr και m2 = 3 kgr, αντίστοιχα.

 Αρχικά, τα σώματα Σ1 και Σ2 ισορροπούν εφαπτόμενα στη θέση Ι χωρίς να ασκούν δύναμη το ένα στο άλλο. Στο Σ1 είναι στερεωμένο ένα τεντωμένο οριζόντιο σχοινί Οx μεγάλου μήκους. Η ακλόνητα στηριγμένη κατακόρυφη ράβδος ΑΒ και οι δακτύλιοι δ1 και δ2 που είναι περασμένοι σ’ αυτήν και είναι στερεωμένοι στα σώματα, χρησιμεύουν στο να εξουδετερώνεται η τάση του σχοινιού και οι άξονες των δύο ελατηρίων να διατηρούνται κατακόρυφοι.

Απομακρύνουμε προς τα κάτω το Σ2 κατά 20 cm και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Ανέρχεται, και στη θέση Ι συγκρούεται πλαστικά με το Σ1. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει αρχίζει να ταλαντώνεται παρασύροντας το άκρο Ο του σχοινιού σε μια παρόμοια κίνηση. Έτσι, πάνω στο σχοινί ξεκινάει η διάδοση ενός εγκάρσιου κύματος με ταχύτητα 10 cm/s.

Α. Να αποδείξετε η ταλάντωση του συσσωματώματος είναι απλή αρμονική με σταθερά επαναφοράς  D = k1 + k2 .
Β. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος και να γράψετε τη σχέση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο.
Γ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ …
Δείτε:

Σάββατο 5 Μαΐου 2012

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

 Πώς μια κρούση στην κατάλληλη θέση καθιστά το πλάτος ταλάντωσης μέγιστο.  

Το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου έχει στερεωθεί στην οροφή ενός δωματίου, ενώ στο κάτω άκρο του έχει προσδεθεί σφαιρικό σώμα Σ1 μάζας m.  
   Υποβαστάζουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος ℓ0, και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα Σ1 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Παρατηρούμε ότι το χαμηλότερο σημείο στο οποίο φτάνει, απέχει από το σημείο που το αφήσαμε 20 cm.
Α.  Υπολογίστε τη συχνότητα της ταλάντωσης και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν περνάει από τη θέση που βρίσκεται 10 cm πιο κάτω από τη θέση που το αφήσαμε. Δίνεται: g = 10 m/sec2.
Β. Κάτω από το Σ1 και σε απόσταση h = 50 cm από τη θέση που το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί,  βρίσκεται ένα άλλο σφαιρικό σώμα Σ2 ίδιας μάζας με το Σ1. Το κέντρο του Σ2 βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που ταλαντώνεται το κέντρο του Σ1. Κάποια στιγμή το Σ2 βάλλεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ0 = 3 m/sec και συγκρούεται κεντρικά κι ελαστικά με το Σ1. Σε ποια θέση πρέπει να βρίσκεται το Σ1 τη στιγμή της κρούσης, ώστε μετά από αυτή, το πλάτος της ταλάντωσής του να είναι το μέγιστο δυνατό; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Γ. Πόσο είναι .... 
                                                                          
Δείτε:

Πέμπτη 3 Μαΐου 2012


ΑΝΕΒΑΙΝΕΙ Ή ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ;


Το σώμα Σ του πλαϊνού σχήματος είναι δεμένο στο άκρο ενός λεπτού αβαρούς σχοινιού (σχοινί 1) τυλιγμένου στο περιμετρικό αυλάκι μιας τροχαλίας η οποία  μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα. Στην ίδια τροχαλία υπάρχει και ένα άλλο αυλάκι, ομοαξονικό με το πρώτο, με ακτίνα r = R/2, στο οποίο είναι τυλιγμένο το σχοινί 2.
Η άλλη μεριά αυτού του σχοινιού είναι τυλιγμένη γύρω από μια κεντρική εγκοπή ενός κυλινδρικού τροχού που μπορεί να κυλίεται πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει, όπως στο σχήμα. Οι ακτίνες της εγκοπής του τροχού και της περιφέρειάς του είναι, αντίστοιχα, r και R, ίσες με τις ακτίνες των δύο αυλακιών της τροχαλίας.
Τη στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι το  σχοινί 2 τυλίγεται στο αυλάκι της τροχαλίας με τη μικρή ακτίνα. Το σώμα Σ κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση 1,8 m/s2,  ενώ ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Α. Να εξετάσετε αν ο κύλινδρος ανέρχεται ή κατέρχεται στο πλάγιο επίπεδο.
Β. Να βρείτε την επιτάχυνση, την ταχύτητα και τη μετατόπιση του κυλίνδρου τη ...
 ..........................................................................................................................
Δείτε:





Τετάρτη 25 Απριλίου 2012

ΜΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ


Μια προέκταση της άσκησης 5.41 σελ. 180 του σχολικού βιβλίου

Α.  Να δείξετε ότι μετά την πλάγια ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ίδιας μάζας που το ένα αρχικά ήταν ακίνητο, τα δύο σώματα θα κινηθούν προς κάθετες μεταξύ τους κατευθύνσεις.
Β. Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο τραπέζι ηρεμεί ένα σφαιρίδιο Σ2 μάζας m = 1 kgr στερεωμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται από ακλόνητο στήριγμα. Ένα δεύτερο σφαιρίδιο Σ1 ίδιας μάζας με το Σ2 κινείται με ταχύτητα υ1 =  2 m/sec πάνω σε μια ευθεία που δε διέρχεται από το κέντρο του Σ2 και σχηματίζει γωνία φ = 1350 με τον άξονα του ελατηρίου.  Ακολουθεί πλάγια ελαστική κρούση στο τέλος της οποίας διαπιστώνεται ότι το Σ2 κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κάνοντας απλή αρμονική ταλάντωση.
   1.  Ποια είναι η διεύθυνση κίνησης του Σ1 μετά την κρούση;  Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του μετά την κρούση;                                                             
   2.  Να υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα, το πλάτος της ταλάντωσης, και τη μέγιστη επιτάχυνση του Σ2.                                                                
   3. Να παραστήσετε σε κοινό ορθογώνιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την ταχύτητα.      

Δείτε: