ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ - ΘΕΜΑ Β

Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t = t_1.  Η πηγή του βρίσκεται στο σημείο Α και διαδίδεται κατά μήκος ενός ανομοιογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου προς τη θετική κατεύθυνση.

 Χαρακτηρίστε, με αιτιολόγηση,  καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστή ή λάθος;

α) Το κύμα διαδίδεται γρηγορότερα στη διαδρομή ΑΒ, απ’ ότι στη διαδρομή ΒΓ.

β) Η φάση ταλάντωσης της πηγής τη χρονική στιγμή t₁ είναι 7π.

γ) Το μέτρο της ταχύτητας του Γ είναι μεγαλύτερο από του Α.

Videos για ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

• Διαμήκης και εγκάρσιος κυματικός παλμός  κατά μήκος ενός ελατηρίου.
• Διαμήκη και εγκάρσια κύματα
• Επαλληλία ή υπέρθεση κυμάτων:  (α),  (β)
• Συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού:  (α),  (β),  (γ)
• Στάσιμα κύματα σε γραμμικό ελαστικό μέσον:  (α),  (β), (γ),  (δ),  (ε),  (στ),  και στάσιμα κύματα στην επιφάνεια υγρού (ζ)

      Κάντε κλικ στις φράσεις ή στα γράμματα με κόκκινο χρώμα για να δείτε 14 videos σχετικά με τα μηχανικά κύματα.

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού - ΘΕΜΑ A

 Οι πηγές Π₁ και Π₂ είναι δύο σύγχρονες πηγές που δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού. Το σημείο Β βρίσκεται πάνω στην πρώτη, μετά τη μεσοκάθετο, ενισχυτική υπερβολή. Αυτό σημαίνει ότι όταν σ’ αυτό φτάνει ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πηγή Π₂, ταυτόχρονα, φτάνει και ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πιο μακρινή πηγή Π₁, το οποίο:

α) ξεκίνησε ταυτόχρονα με το όρος της πηγής Π₂

β) ξεκίνησε μια περίοδο νωρίτερα,

γ) ξεκίνησε μια περίοδο αργότερα,

δ) ξεκίνησε μισή περίοδο νωρίτερα.

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ - ΘΕΜΑ A

Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται δύο στιγμιότυπα ενός τμήματος μιας χορδής στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, που προήλθε από τη συμβολή δύο αντίθετα κινουμένων αρμονικών κυμάτων πλάτους Α και περιόδου Τ.

Να σημειώσετε (Σ) στις σωστές και (Λ) στις λανθασμένες προτάσεις:

α) Τα σημεία Α και Β ταλαντώνονται με διαφορά φάσης μηδέν.

β) Όλα τα σημεία της χορδής, εκτός των δεσμών, εκτελούν α.α.τ με την ίδια συχνότητα.

γ) Τα σημεία Α και Β αποκτούν ταυτόχρονα τη μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσής τους.

δ)  Το σημείο Α έχει μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης από ότι το σημείο Β.

ε)  Από το σημείο Α μεταφέρεται ενέργεια στο σημείο Β.

ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ, δώδεκα + 2 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

  Ένα αρμονικό κύμα παράγεται από μια πηγή που ταλαντώνεται στην αρχή μιας χορδής και διαδίδεται προς τα δεξιά. Η αρχή της χορδής ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων (0,0) και η πηγή ταλαντώνεται με εξίσωση ψ = 0,2ημπt  (S.I). Το σχήμα δείχνει ένα στιγμιότυπο αυτού του κύματος πάνω στη χορδή. Τη στιγμή που αντιστοιχεί στο στιγμιότυπο, η ταχύτητα ταλάντωσης της πηγής είναι:

α) 0,2 m/sec,           β) 0,5 m/sec, 

γ) 0,2π m/sec,         δ) -0,2π m/sec.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Videos

Για διάλειμμα μπορείτε να δείτε ορισμένα video-μαθήματα ταλαντώσεων. Κάτω από καθένα υπάρχει και η πηγή όπου μπορείτε να ανατρέξετε και να βρείτε πολλά σχετικά video. Απολαύστε τα!

• Απλός αρμονικός ταλαντωτής. Πηγές: (α), (β)
• Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στις α.α.τ. Πηγή: (γ)
• Εξαναγκασμένος αρμονικός ταλαντωτης. Πηγή: (δ)
• Ο ήχος της αρμονικής κίνησης. Πηγή: (ε) 

            Δείτε επίσης:

• Οι MythBuster's και το φαινόμενο του συντονισμού.
• Η καταστροφή της γέφυρας Tacoma

ΔΥΟ Επαναληπτικά Διαγωνίσματα 40 min στις ταλαντώσεις

 1^ο Επαναληπτικό διαγώνισμα 40 min στις ταλαντώσεις.

   1. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την επιτάχυνση ενός σώματος, που εκτελεί α.α.τ, σε συνάρτηση με το χρόνο.

  Να χαρακτηρίσετε με Σ (αν είναι σωστή) ή με Λ (αν είναι λάθος) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.

α)  Στο σημείο Α αντιστοιχεί απομάκρυνση –Α,

β)  Στο σημείο Β του διαγράμματος η ταχύτητα είναι θετική,

γ)  Στο σημείο Γ η δύναμη επαναφοράς έχει μέγιστο μέτρο,

δ)  Στο σημείο Δ η απομάκρυνση είναι μέγιστη αρνητική,

ε)  Η ταχύτητα, στη διάρκεια που αντιστοιχεί μεταξύ των σημείων Γ και Δ, είναι θετική.  

Η συνέχεια εδώ ...  και η αναλυτική απάντηση εδώ ...

Αρμονικές ταλαντώσεις, ερωτήσεις του τύπου “ΘΕΜΑ Β” ένας συντονισμός, μία φθίνουσα και έξι συνθέσεις.

1.  Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πηνίο αυτεπαγωγής L = 1/π mH και πυκνωτή με χωρητικότητα που μπορεί να μεταβάλλεται από C₁ = 0,1/π μF  έως C₂ = 1,6/π μF. Το πηνίο του κυκλώματος βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με το πηνίο μιας κεραίας που δέχεται κύματα από τρεις πομπούς με συχνότητες  f₁ = 60 kHz,  f₂ = 30 kHz και f₃ = 10 kHz.

α) Με ποιόν ή ποιους από τους πομπούς αυτούς μπορεί να συντονιστεί το κύκλωμα;

  β) Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Δείτε όλες τις ερωτήσεις εδώ… και τις αναλυτικές απαντήσεις εδώ…

ΔΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ  Α

i) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

(Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά).

Α1.  Η  αντιτιθέμενη δύναμη  F΄,  που  κάνει τη μέγιστη θετική απομάκρυνση  μιας  ταλάντωσης να  φθίνει εκθετικά με το χρόνο,  έχει πάντα φορά:

α)  ίδια με  τη φορά  της απομάκρυνσης του σώματος ,

β)  αντίθετη προς τη δύναμη  επαναφοράς της ταλάντωσης,

γ)  προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης,

δ)  αντίθετη προς τη φορά της ταχύτητας του  ταλαντωτή.

A2.   Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση,  περιόδου Τ,  η μέγιστη  θετική απομάκρυνση μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: A  = A_ο e^-Λt.  Αν  τη χρονική στιγμή  t_α =  kΤ,  το πλάτος  της  ταλάντωσης είναι  Α_α ,  τότε τη χρονική στιγμή  t _β =  t _α + Τ,  το πλάτος της ταλάντωσης  θα  είναι: 

 α)  Α_α e^ΛT,             β)  Α_α e^-2ΛT,           γ)  Α_α e^2ΛT,                 δ)  Α_α e^-ΛT

Δίνεται ότι k = 1, 2, 3,...

Η συνέχεια εδώ ...  και η αναλυτική απάντηση εδώ ...

3o θεωρητικό σημείωμα.

Κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο …. 

  Ένα θεωρητικό κείμενο και μια εφαρμογή, με αφορμή τη δυσκολονόητη φράση (σελ. 23) του σχολικού βιβλίου:

  “ Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο, γι αυτό το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο”. 

 

Σας δίνεται η παρακάτω πληροφορία:

 «Ο συντονισμός, (με την έννοια ότι είναι μια κατάσταση μεγιστοποίησης του ρυθμού μεταφοράς ενέργειας από το διεγέρτη στο ταλαντούμενο σώμα, που συμβαίνει όταν ω_δ = ω_ο), γίνεται καλύτερα κατανοητός αν σκεφτούμε πως, στην κατάσταση αυτή, η δύναμη του διεγέρτη πρέπει να είναι σε φάση με την ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται. Δηλαδή, η F_διεγ και η υ πρέπει να έχουν το ίδιο φ_ο και το ίδιο ω, το ω_ο.

   Έτσι, ο διεγέρτης ασκεί την απαραίτητη δύναμη στη μάζα ακριβώς την κατάλληλη στιγμή και στην κατάλληλη θέση, με αποτέλεσμα η ενέργεια να μεταφέρεται στη μάζα με το βέλτιστο δυνατό τρόπο …. 

  Για παράδειγμα: είναι γνωστό ότι όταν x = 0 και η μάζα κινείται προς τη θετική κατεύθυνση, τότε υ = max.  Πρέπει, για να’ χουμε συντονισμό, αυτή τη χρονική στιγμή, η δύναμη του διεγέρτη να πάρει κι αυτή τη μέγιστη θετική τιμή της, ώστε να εξουδετερώσει τη δύναμη απόσβεσης, η οποία την ίδια στιγμή έχει μέγιστο μέτρο αλλά αρνητική αλγεβρική τιμή. Στις ακραίες θέσεις, όπου η ταχύτητα μηδενίζεται κι αλλάζει κατεύθυνση, πρέπει και η δύναμη του διεγέρτη να μηδενίζεται και να αλλάζει ταυτόχρονα και κατά τον ίδιο τρόπο κατεύθυνση».

  Έστω, λοιπόν, μια εξαναγκασμένη, με απόσβεση, μηχανική ταλάντωση, στην οποία η δύναμη του διεγέρτη παρέχεται από τη σχέση: F = F_o ημ(40πt)    (S.I) .

  α)  Πόση πρέπει να είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος ώστε η ενέργεια να μεταφέρεται από το διεγέρτη στο σύστημα με το βέλτιστο δυνατό τρόπο;

  β)  Δίνεται ότι, με τη δράση της παραπάνω διεγείρουσας δύναμης, το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται 10 cm.  Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της απομάκρυνσης με το χρόνο στην κατάσταση που περιγράφεται στο προηγούμενο ερώτημα.

   

    Aπ.  α) 20 Ηz,    β) πρέπει να θυμηθείτε ότι η φάση της ταχύτητας είναι μεγαλύτερη από τη φάση της απομάκρυνσης κατά  π/2,  οπότε:  υ = Αωημ40πt,  x =0,1ημ(40πt – π/2),   (S.I)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΕΝΑ ΔΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΘΕΜΑ  Α

i) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

(Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά).

A1. Σ’ ένα κύκλωμα L – C που εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση, το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση  q = Qσυνωt :

α.  η μέγιστη ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι ω²Q.

β.  η μέγιστη τάση από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου είναι  Lω²Q.

γ.  ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα είναι ωQ.

δ.  η μέγιστη ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή έχει τιμή  ½ Lω²Q.

Δείτε τη συνέχεια εδώ και τις απαντήσεις εδώ

5 ερωτήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις - ΘΕΜΑ Β

1. Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση η μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι 10 Joule. Όταν η ένταση του ρεύματος είναι 1 Α τότε η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι 7,5 Joule.

I(A)	0	1
UE(J)		7,5
UB(J)	0		10

α. Να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τα κενά.
β. Να δικαιολογήσετε τη συμπλήρωση δύο κενών, του κάτω αριστερά και του πάνω δεξιά.

Δείτε την απάντηση και τις υπόλοιπες ερωτήσεις εδώ.

Μια επαφή που κινδυνεύει να χαθεί ... λόγω κρούσης!

  Ένα ελατήριο, σταθεράς k = 100 N/m, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του με τον άξονά του κατακόρυφο. Στο πάνω άκρο του βρίσκεται στερεωμένος ένας αβαρής οριζόντιος δίσκος και πάνω σ’ αυτόν είναι τοποθετημένο ένα σώμα μάζας m = 1,6 kgr, χωρίς να είναι στερεωμένο με το δίσκο. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Από ύψος h = 20 cm, πάνω από το σώμα που στηρίζεται στο δίσκο, αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα ένα δεύτερο σώμα μάζας ίσης με το πρώτο, το οποίο συγκρούεται πλαστικά με αυτό και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αρχίζει να κάνει  α.α.τ.

α) Να βρείτε την ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

β) Αν το ύψος είναι μεγαλύτερο κάποιου h_o, το συσσωμάτωμα σε κάποια θέση αποσπάται από τον αβαρή δίσκο. Ποια είναι η θέση αυτή;

γ) Υπολογίστε το h_o, ώστε το συσσωμάτωμα να συνεχίσει να εκτελεί την α.α.τ. Δίνεται ότι g = 10 m/sec².

Απ. α) 2,88 J,  β) Α = 24 cm, γ) 32 cm πάνω από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, δηλαδή στη θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος, δ) h_o = 48 cm.

Αναλυτική απάντηση:

2ο θεωρητικό σημείωμα

Τι κάνουμε όταν χρειαζόμαστε τη δύναμη επαφής; 

Αυτά για την απώλεια επαφής. Πώς θα υπολογίσουμε όμως τη δύναμη επαφής σε μια συγκεκριμένη θέση;  

Επειδή η δύναμη επαφής είναι εσωτερική δύναμη ανάμεσα στα δύο σώματα δεν μπορούμε να την υπολογίσουμε από σχέσεις που αναφέρονται στην α.α.τ του συστήματος των σωμάτων, γιατί απλούστατα δεν υπάρχει σ’ αυτές. Γι αυτό πρέπει να ασχοληθούμε ξεχωριστά με τις α.α.τ κάθε σώματος και συγκεκριμένα με τη συνισταμένη δύναμη, που καθένα απ’ αυτά δέχεται και την εξάρτησή της με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας.

Συνέχεια …

Δύο σώματα πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο: Απώλεια επαφής, κ.λ.π

Το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο σε οριζόντιο επίπεδο. Στο άλλο άκρο του συνδέεται σταθερά σώμα Α μάζας Μ. Πάνω στο σώμα Α είναι τοποθετημένο σώμα Β μάζας m και το σύστημα ισορροπεί στη θέση Ι με το ελατήριο συσπειρωμένο από το φυσικό του μήκος κατά (ΙΦ). Στη συνέχεια εκτρέπουμε το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά (ΙΚ) = 2(Μ + m)g/k από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο τη χρονική στιγμή t = 0. Το σύστημα των σωμάτων Α+Β αρχίζει να εκτελεί α.α.τ.

α) Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων θα περάσει από τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ότι στη θέση αυτή θα χαθεί η μεταξύ τους επαφή.

β) Πόση είναι η ταχύτητα που έχουν τα σώματα τη στιγμή της απώλειας επαφής τους;

γ) Ποια χρονική στιγμή θα χαθεί η επαφή των σωμάτων ;

δ) Με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ορμή των σωμάτων τη στιγμή που χάνεται η μεταξύ τους επαφή;

ε) Πόση είναι η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος από τη στιγμή μηδέν μέχρι τη στιγμή που χάνεται η μεταξύ τους επαφή;

Για τις απαντήσεις σας στις ερωτήσεις β, γ, δ και ε θεωρείστε γνωστές τις μάζες των σωμάτων, τη σταθερά του ελατηρίου και την επιτάχυνση βαρύτητας.

Δείτε:

•  Την απάντηση αναλυτικά εδώ.
• Μια ολοκληρωμένη εργασία, με πολλές περιπτώσεις ταλάντωσης δύο σωμάτων σε επαφή, δημοσιευμένη στο Ylikonet από τον εξαίρετο συνάδελφο Σταύρο Πρωτογεράκη.

1ο θεωρητικό σημείωμα

 Δείτε γιατί ...

Ένα σώμα – δύο ελατήρια, σε πλάγιο επίπεδο με μήκος ίσο με το συνολικό μήκος των δύο ελατηρίων.

* Στο σχήμα φαίνονται δύο ελατήρια, που το ένα τους άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο ενώ το άλλο είναι στερεωμένο σε ένα σώμα Σ.  Όλο το σύστημα βρίσκεται πάνω σε ένα λείο πλάγιο επίπεδο. Τα μήκη των (ΑΦ) και (ΓΦ) αντιστοιχούν στα φυσικά μήκη των δύο ελατηρίων του σχήματος. Οι διαστάσεις του σώματος  Σ θεωρούνται αμελητέες.

α) Ποιες είναι οι παραμορφώσεις των δύο ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του σώματος;

β) Τοποθετούμε το σώμα στη θέση Φ και το αφήνουμε ελεύθερο. Δείξτε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ  και υπολογίστε την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

γ) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t =Τ/12. Ως αρχή χρόνων να θεωρήσετε τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο.

Δίνονται: η μάζα του σώματος m=1kgr, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/sec², η γωνία φ = 30^ο  και  ότι  k₂ = k₁ = 25 N/m.

Απ. α) 0,05 m,   0,05 m,  γ) 0,2π sec,  -0,25 m/sec, -2,5√ 3  m/sec²

Αναλυτική απάντηση:

ΔΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

A.    Ερωτήσεις

i)   Πολλαπλής επιλογής

(Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον  αριθμό της αρχικής φράσης και, δίπλα, το γράμμα  ή τη σχέση που τη συμπληρώνει σωστά.).

1.  Η επιτάχυνση ενός σώματος, που κάνει α.α.τ, μεταβάλλεται σε σχέση με την ταχύτητα σύμφωνα με το διάγραμμα:

                                                                                                                                 Μονάδες 10

2. Η απομάκρυνση x ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από το πλαϊνό διάγραμμα. Η επιτάχυνση του σώματος και η ταχύτητά του έχουν αντίθετες κατευθύνσεις τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί:

 α.     στο σημείο Α.               β. στο σημείο Β.

 γ.     στο σημείο Γ.                δ. στο σημείο Δ. 

                                                                                                                             Μονάδες 10

Δείτε ολόκληρο το διαγώνισμα εδώ