Όποιος σκορπίζει γνώση κερδίζει χαρά!!

Δευτέρα, 28 Απριλίου 2014

 2. Φάση, μεταβολή φάσης, διαφορά φάσης, μέγιστη και ελάχιστη απόσταση δυο υλικών σημείων σε ένα κύμα

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, συχνότητας f = 2 Hz και πλάτους A=0,4 m, διαδίδεται με ταχύτητα υ=2,4 m/s προς τη θετική κατεύθυνση ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα xΌx. Τη στιγμή t = 0 το κύμα φτάνει στην αρχή Ο του άξονα, η οποία ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της και αρχίζει να κάνει ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν.
Α. Να βρείτε τη σχέση της φάσης της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους και να αποδώσετε γραφικά τη φάση των σημείων που βρίσκονται μεταξύ των θέσεων Α (x1 = -3 m) και Β (x2 = +3 m), για τη στιγμή t = 0,75 sec.
Β. Να προσδιορίσετε την εξίσωση που παρέχει τη φάση του σημείου Β του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά για το χρονικό διάστημα 0 ως 2 sec.
Γ. Να βρείτε την εξίσωση που παρέχει τη διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Κ και Λ του ελαστικού μέσου στα οποία έχει φτάσει το κύμα.
Δ. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων K και Λ του ελαστικού μέσου διάδοσης που παρουσιάζουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π;

Απ. Α. φ = 3π- 5πx/3,  Β. φΒ = 4πt – 5π (για t≥1,25 s), Γ. , Δ. 0,6 m,  1 m



Κυριακή, 27 Απριλίου 2014

3. Τρέχον κύμα σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Σημείο στη θέση x = +A για πρώτη φορά. Προσδιορισμός σημείων με ορισμένη απομάκρυνση. Στιγμιότυπο.

 Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα παράγεται από μια πηγή που βρίσκεται στην αρχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση: 
                                                       ψ = 0,01ημπt   (S.I)
 Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας της πηγής ως αρχή Ο των αξόνων, και ότι το κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας κατά την κατεύθυνση Οx με ταχύτητα ίση με 100/π φορές τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου διάδοσης.
Ένα σημείο Σ του μέσου βρίσκεται στη θέση xΣ = 5 m.  
Α. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 που το Σ θα βρεθεί για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, καθώς και την ταχύτητά του τη στιγμή t2 = 12 s.
B. Ποια σημεία του μέσου βρίσκονται τη στιγμή t1 σε απομάκρυνση ψ1 =5 2 .10-3m
m και έχουν θετική ταχύτητα;
Γ. Να σχεδιάσετε τη στιγμή t1 το στιγμιότυπο του κύματος και να σημειώσετε πάνω σ’ αυτό τα σημεία του προηγούμενου ερωτήματος. Ποιο από αυτά βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση ψ1 και έχει θετική ταχύτητα; 

Aπ. Α. 5,5 s,  -0,01π m/s,  B. 1,25 m,  3,25 m,   5,25 m, Γ. 5,25 m

Πέμπτη, 24 Απριλίου 2014

 4. Γραμμικό εγκάρσιο κύμα, τρία υλικά σημεία, ταλάντωση, μέγιστη κι ελάχιστη 
απόστασή τους.

Σε ένα οριζόντιο γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x,  διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ= 1m/s.
Θεωρείστε τρία υλικά σημεία Κ,Λ,Μ του μέσου και υποθέστε ότι το Λ ξεκινάει την ταλάντωσή του τη στιγμή t=0 με εξίσωση ψΛ = 0,06ημ20πt (S.I) και λίγο αργότερα το Μ με εξίσωση ταλάντωσης  ψΜ = 0,06ημ20π(t-0,05)  (S.I). 
Αν xM - xK  = 4λ:
Α.  Να δείξετε ότι το κύμα πέρασε πρώτα από το Κ, να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης του Κ, καθώς και τη διαφορά ΝΚ – ΝΜ, όπου ΝK και ΝΜ το πλήθος των ταλαντώσεων των υλικών σημείων Κ και Μ από την έναρξη της ταλάντωσής τους μέχρι μια χρονική στιγμή t1xM/υ.
Β. Να δείξετε ότι το Λ έχει κάθε στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα με τα Κ και Μ.
Γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος  από το Κ μέχρι το Μ κάποια στιγμή που το Λ βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνσή του.
Δ. Να βρείτε τo ελάχιστο και μέγιστο άθροισμα των αποστάσεων του Λ από τα Κ και Μ.

Απ.  Α. ψΚ = 0.06ημ20π(t + 0,35)  (S.I),   ΝΚ – ΝΜ = 4,    Δ. 0,40 m,   0,50 m

Τετάρτη, 23 Απριλίου 2014

5. Συμπεράσματα από ένα στιγμιότυπο τρέχοντος κύματος.

Kατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x΄x, έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,3 m. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x΄x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση του. Έτσι, στο στιγμιότυπο της στιγμής t = 0, που φαίνεται στο σχήμα, από τη θέση x = 0 διέρχεται μια κοιλάδα του κύματος.
Α. Να δείξετε πάνω στο σχήμα ποια είναι η φορά των ταχυτήτων των υλικών σημείων Β και Γ.
B. Δίνεται ΒΓ=25 cm και ότι το σημείο Γ θα φτάσει για πρώτη φορά στην κάτω ακραία θέση τη στιγμή t1 = 0,45 s.
Β1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μέτρο των ταχυτήτων των Β και Γ και την επιτάχυνση του Ο τη στιγμή t = 0.
B2. Να εξετάσετε αν το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση ψ = 0,2ημω(t -x/υ).
B3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος μεταξύ των θέσεων Β και Γ τη στιγμή t1=0,15 s.
Απ. Β1. 1/6 m/s,  π m/s, 10π2/3 m/s2 


Δευτέρα, 21 Απριλίου 2014

6. Αρμονικό κύμα σε χορδή απείρου μήκους και αρμονική ταλάντωση δύο σημείων της.
Πάνω σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον διαδίδεται ένα απλό αρμονικό κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου ορίζεται ως αρχή αξόνων. Κάποια στιγμή παρατηρούμε ότι οι φάσεις δύο σημείων Α και Β με συντεταγμένες xA = +17,25 m και xB = +10 m είναι, αντίστοιχα,     ΦΑ = +7π και ΦΒ = +36π.
Α. Να βρείτε το μήκος κύματος λ.
Β.  Αν δίνεται ότι για τις χρονικές στιγμές tA και tB, που για πρώτη φορά τα σημεία Α και Β διέρχονται από τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή τους,  ισχύει: tA – tB = 7,25 sec, και ότι η αρχή αξόνων ξεκινά την ταλάντωσή της τη χρονική στιγμή t = 0, χωρίς αρχική φάση, με πλάτος 0,2 m,  να βρείτε:
Β1. Την περίοδο ταλάντωσης της πηγής, και
Β2. Την εξίσωση του κύματος που δημιουργείται πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσον. 
Γ. Κάποια στιγμή, έστω t1, το υλικό σημείο Α έχει ταχύτητα  υΑ = -0,8π m/s. Ποια είναι η απομάκρυνση του υλικού σημείου Β τη στιγμή αυτή;
 Απ.   Α. 0,5 m,   Β1. 0,5 sec,    Β2. Ψ = 0,2ημ4π(t-x),    Γ. 0 

Παρασκευή, 18 Απριλίου 2014


    7. Δύο σύγχρονες πηγές σε τεντωμένη χορδή απείρου μήκους με περιορισμένο το χρόνο λειτουργίας της μιας
Μια τεντωμένη χορδή απείρου μήκους ταυτίζεται με τον άξονα x΄ox. Στη θέση x = 0 υπάρχει πηγή κύματος Π1,  η οποία τη στιγμή t = 0 αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση ψ = Αημωt.
 Έτσι δημιουργούνται δύο κύματα που διαδίδονται το ένα προς τη θετική κατεύθυνση και κατά  μήκος του ημιάξονα Οx και το άλλο προς την αρνητική κατεύθυνση επί του ημιάξονα  Οx΄.
Στο σχήμα παριστάνονται δύο στιγμιότυπα αυτών των κυμάτων τις χρονικές στιγμές  t1=0,6 s, t2 = 0,9 s.
Α. Με ποια ταχύτητα διαδίδονται τα δύο κύματα που δημιουργούνται και ποιες είναι οι εξισώσεις τους;
Β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο των κυμάτων τη χρονική στιγμή t3 = 1,2 s.
Γ.  Έστω ότι στη θέση x = +2,8 m υπάρχει και μια δεύτερη πηγή Π2, που ξεκινάει, όπως και η πηγή Π1, τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση ίδια με της Π1.
Γ1. Να προσδιορίσετε το πλάτος της ταλάντωσης  ενός υλικού σημείου Σ της χορδής, για το οποίο xΣ = +3 m, μετά τη συμβολή των κυμάτων σ’ αυτό. 
Γ2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό και τις θέσεις των υλικών σημείων, που βρίσκονται μεταξύ των δύο πηγών και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει, τα οποία θα αποκτήσουν ενέργεια ταλάντωσης τετραπλάσια από την ενέργεια του Σ μετά τη συμβολή των κυμάτων.
Δ. Κάποια στιγμή, έπειτα από τη συμβολή των κυμάτων στο τμήμα της χορδής ανάμεσα στις δύο πηγές, και ενώ η πηγή Π1 έχει κάνει ακέραιο αριθμό ταλαντώσεων, την καταργούμε.  Μετά από πόσο χρόνο το πλάτος ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Σ΄ της χορδής, συμμετρικού του Σ ως προς την πηγή Π2, θα μεταβληθεί; Ποια θα είναι η νέα του τιμή;
       ΑΠ. Α. 1m/s,  ψ = 0,1ημ(π/0,6)(t ± x),  Γ1. 0,1 mΓ2. πέντε σημεία, 0,2, 0,8, 1,4, 2,0,  2,6m             Δ. 2,6 s,  0,1 m.

Πέμπτη, 17 Απριλίου 2014

      8. Αξιοποιώντας τους  χρόνους άφιξης των κυμάτων δύο σύγχρονων πηγών σε ορισμένο σημείο, για τη μελέτη της συμβολής τους

Σε δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας ενός υγρού, που αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 οι οποίες, τη  στιγμή t = 0, αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση ψ = Αημωt η καθεμιά, με αποτέλεσμα τη δημιουργία  δύο αρμονικών κυμάτων. Σε ένα σημείο Ρ της επιφάνειας του υγρού βρίσκεται ένα μικρό κομμάτι φελλού και τα κύματα των δύο πηγών Π1 και Π2 φτάνουν σ’ αυτό τις χρονικές στιγμές t1 και t2, αντίστοιχα.
A. Να δείξετε ότι η εξίσωση ταλάντωσης του φελλού, μετά τη συμβολή των κυμάτων στο σημείο Ρ, είναι:
B. Έστω Α = 0,1 m, ω =2π r/s και η ταχύτητα διάδοσης υ = 0,25 m/s, τότε: 
Β1. Αν για το Ρ ισχύει t1 = 2 s και t2 = 6 s, να δείξετε ότι το Ρ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής των κυμάτων.
Β2. Αν ΑΒ = 1,2 m, να προσδιορίστε τη θέση ενός σημείου Ρ΄,  που βρίσκεται στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης με το Ρ και πάνω στην ευθεία του ΑΒ.
Γ. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα απομάκρυνσης – χρόνου για  το φελλό σε βαθμολογημένους άξονες, για t ≥ 0.

 ΑΠ.  Β2. 0,1 m


  • Η εκφώνηση της άσκησης σε PDF εδώ.
  • Η Λύση της εδώ.

Τετάρτη, 16 Απριλίου 2014

9. Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και ένας δέκτης – ανιχνευτής

Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, Π12, απέχουν μεταξύ τους απόσταση       L = 36 m. Σε μια θέση Α, που απέχει από τη μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 απόσταση 42 m και από την πηγή Π1 απόσταση 51 m, βρίσκεται ένας δέκτης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.
Α. Για ποιες συχνότητες ο δέκτης στη θέση Α δε λαμβάνει σήμα;
Β. Για ποιες συχνότητες ο δέκτης στη θέση Α θα λαμβάνει ενισχυτικό σήμα;
Γ. Εάν fα,min η ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών ώστε τα κύματα να συμβάλλουν αποσβεστικά στο σημείο Α και fε,min η ελάχιστη δυνατή συχνότητα ταλάντωσης των πηγών ώστε τα κύματα να συμβάλλουν ενισχυτικά στο Α, να δείξετε ότι fα,min/ fε,min = ½.
Δ. Έστω ότι ο δέκτης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, έρχεται από πολύ μακριά κινούμενος πάνω σε μια ευθεία (ε) παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι δύο πηγές, με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα και καταγράφει την πρώτη απόσβεση στη θέση Α (σε καμιά από τις προηγούμενες θέσεις δεν καταγράφεται απόσβεση). Μετά τη θέση αυτή και μέχρι τη μεσοκάθετο καταγράφει άλλη μια απόσβεση.
Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι c = 3.108 m/s.
Δ1.
Δ2.

Τρίτη, 15 Απριλίου 2014

10. Ανίχνευση κύματος, ορισμένης συχνότητας, με πλάτος πάνω από μια ελάχιστη τιμή 
Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή  πολύ μεγάλου μήκους,  προσανατολισμένη  στη διεύθυνση του άξονα xx΄, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος λ = 10 m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση x = 0 και ξεκινάει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση:
 ψ =2ημ(0,5πt)  (οι μονάδες των μεγεθών στο S.I).
 Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση x=100 m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος, η οποία μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας fs = 3393 Ηz.
 Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με -2,5 m/s2 (από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).
 Ένας δέκτης A βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά αυτή ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσης του:
Α. Ποια είναι η εξίσωση του κύματος που παράγεται πάνω στη χορδή;
Β. Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη μικροσυσκευή;                          
Γ. Ποια στιγμή αρχίζει να εκπέμπει η μικροσυσκευή;
Δ. ....
Ε.  ....
ΣΤ.  ....