Όποιος σκορπίζει γνώση κερδίζει χαρά!!

Κυριακή, 29 Σεπτεμβρίου 2013

  • Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση.
  • 4η περίπτωση: (Επίπεδο δυσκολίας 4, «όχι και τόσο φοβερή!»)
  • ΟΠΟΥ Το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση π και τετραπλάσια ενέργεια

 
Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο και ισορροπεί στη θέση Ι ένα σώμα Σ1 μάζας Μ = 1 kgr (σχήμα α). Το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο έδαφος.
Ανεβάζουμε το σώμα ως τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει μηδενική παραμόρφωση, (σχήμα β) και το αφήνουμε ελεύθερο να πέσει με μηδενική αρχική ταχύτητα. Το σώμα αρχίζει να κάνει α.α.τ. (σχήμα γ).
Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και στην πορεία  του συναντάει το Σ1 στην κάτω ακραία θέση του με ταχύτητα υ0  (σχήμα δ) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό.
Κατά την κρούση μετατρέπεται σε θερμότητα το 50% της κινητικής ενέργειας που είχε το σύστημα αμέσως πριν την κρούση.
Μετά την κρούση (που θεωρούμε ότι συμβαίνει τη στιγμή t=0) το συσσωμάτωμα που προέκυψε ξεκινάει μια α.α.τ. με γωνιακή συχνότητα ω = 10 r/s και ενέργεια ταλάντωσης τετραπλάσια της αντίστοιχης του Σ1 πριν την κρούση.

Να υπολογίσετε: ....


Παρασκευή, 20 Σεπτεμβρίου 2013

ΔΥΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΟΙ ΜΕ ΤΗΝ Α.Α.Τ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ «ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ -  ΜΑΖΑΣ»  ΣΕ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

   Το παρακάτω άρθρο, σε πολλά μικρά κομμάτια, είχε δημοσιευτεί πέρσι τον Αύγουστο. Αρκετοί συνάδελφοι μου το ζήτησαν (και το πήραν) σε ενιαία μορφή. Επειδή κάποιοι, λόγω του καλοκαιριού, ίσως δεν το πρόσεξαν, το ξαναδίνω στην κυκλοφορία σε τέσσερα μέρη, εμπλουτισμένο και με μια σχετική άσκηση.


  • Το πρώτο μέρος είναι αρκετά τυπικό και περιέχει βασικές γνώσεις α.α.τ. 
  • Το δεύτερο περιγράφει πώς δυο καλοί μαθητές μπορούν εύκολα να μπλέξουν "σαν τον Ηρακλή με τις κουβαρίστρες", ακριβώς επειδή είναι καλοί. Ευτυχώς που είναι δύο! 
  • Στο τρίτο μέρος οι συμμαθητές "γεννούν" μια ιδέα που ξεκαθαρίζει τη σχέση μεταξύ των τριών δυναμικών ενεργειών: βαρύτητας, ελαστικότητας και ταλάντωσης. 

Το άρθρο διαβάζεται εύκολα και από μαθητές. Απαιτεί, ίσως, λίγο παραπάνω συγκέντρωση!


  • ΜΕΡΟΣ 1ο: Τα βασικά
  • ΜΕΡΟΣ 2ο:  Δυο μαθητές, στην προσπάθειά τους να δώσουν απάντηση σε μια ενδιαφέρουσα ερώτηση, ανεβάζουν απρόσμενα ψηλά τον πήχη
  • ΜΕΡΟΣ 3ο: Η Μηχανική ενέργεια ταλάντωσης συστήματος "κατακόρυφου ελατηρίου – μάζας" και μια «σημαντική ανακάλυψη».
  • ΜΕΡΟΣ 4ο: Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί. (Μια άσκηση με τη λύση της)

Πέμπτη, 19 Σεπτεμβρίου 2013

  • Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση
  • 3η περίπτωση:  (Επίπεδο δυσκολίας 3, +μια απορία!)
  • ΟΠΟΥ Tο συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση Π/2. (ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΠΕΙΤΑ ΑΠΟ ΟΛΙΚΗ ΑΠΩΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΤΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ)
Το σώμα Σ1 μάζας Μ = 1 kgr ισορροπεί στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (σχήμα α). Το τραβάμε προς τα κάτω και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα (σχήμα β). Το σώμα τότε ξεκινάει μια απλή αρμονική ταλάντωση (σχήμα γ) με τα εξής χαρακτηριστικά:
1. Ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης από τη μία ακραία θέση στην άλλη είναι 0,1π sec.
2. Η πάνω ακραία θέση είναι η Φ, όπου η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι μηδέν.
Α. Να βρείτε τη σταθερά k του ελατηρίου και το πλάτος της ταλάντωσης του Σ1.
    Κάποια στιγμή καθώς το σώμα Σ1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, προσπίπτει πάνω του και συγκολλιέται με αυτό, ένα άλλο σώμα Σ2 μάζας m που κινείται προς τα πάνω κατακόρυφα στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ0 τέτοια, ώστε το συσσωμάτωμα που δημιουργείται να έχει αμέσως μετά την κρούση ταχύτητα μηδέν.
Β.  Αν η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι ίση με 64% της αρχικής ενέργειας ταλάντωσης του Σ1, να βρείτε τη μάζα m του Σ2.
Γ. Εξηγείστε γιατί το υπόλοιπο 36% της αρχικής ενέργειας ταλάντωσης του Σ1, δεν .......

  • Ολόκληρη η άσκηση εδώ, και
  • Η Λύση εδώ.

Δευτέρα, 16 Σεπτεμβρίου 2013

Διαγράμματα Ut  και  K - t  σε  α.α.τ.  με αρχική φάση. (Μια πραγματική ιστορία)

  • Οι Φυσικοί οφείλουμε να γνωρίζουμε ποια Μαθηματικά διδάσκονται οι μαθητές μας. Έτσι, σε πρώτη ευκαιρία, θα τους ενθαρρύνουμε να τα χρησιμοποιούν στην επεξεργασία θεμάτων Φυσικής. Και οι μαθητές μας θα αντιληφθούν πόσο εύκολο είναι να πορευθούν μέσα στο χώρο της φυσικής έχοντας ένα ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο.

     Συζητούσα με το μαθητή μου τον Αλέξανδρο για τις γραφικές παραστάσεις των U = f(t) και K = f(t) στην α.α.τ. Σκέφτηκα, αρχικά να μην τον μπλέξω με αρχικές φάσεις κι έτσι καταλήξαμε στις σχέσεις U = Eημ2ωt και K = Eσυν2ω t, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις αποδίδονται από το διάγραμμα:

    Του είπα να προσέξει στο σχεδιασμό των καμπυλών, ώστε αυτές να τέμνονται ακριβώς στο ύψος Ε/2. Να προσέξει επίσης τη συμμετρία των καμπυλών, απ’ όπου προκύπτει ότι οι ενέργειες  εξισώνονται τις χρονικές στιγμές Τ/8, 3Τ/8, 5Τ/8, 7Τ/8 (4 φορές) στη διάρκεια της 1ης περιόδου.
    Ήρθε και η απορία στο μυαλό του Αλέξανδρου: κι αν έχουμε αρχική φάση π/2;  Φυσικά τότε  U = Eημ2t+π/2) και K = Eσυν2t+ π/2). Προσέξαμε ότι τη στιγμή t= 0 είναι U = E και  Κ= 0, οπότε στο νέο διάγραμμα οι καμπύλες θα είναι αντεστραμμένες:
    Και αν φ0 = π;  Εύκολα προκύπτει ότι ακολουθεί και δεύτερη αντιστροφή των καμπυλών οπότε καταλήγουμε στο 1­ο­ διάγραμμα, όπου φ0 = 0. Όμοια, αν φ0 =3π/2 ακολουθεί άλλη μια περιστροφή ακόμη και καταλήγουμε στο 2ο διάγραμμα, κ.λπ.

    Και ήταν τότε που μου ήρθε η «φαεινή» ιδέα να δώσω στον Αλέξανδρο να σχεδιάσει τις καμπύλες με φ0 = π/6 και να βρει, μάλιστα, τις χρονικές στιγμές όπου U = ...



Τρίτη, 10 Σεπτεμβρίου 2013

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση
2η περίπτωση:  (Επίπεδο δυσκολίας 2, «η πιο έξυπνη!»)
ΌΠΟΥ Το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν

  Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο και ισορροπεί στη θέση Ι ένα σώμα μάζας Μ = 1 kgr (σχήμα α).
 Ανεβάζουμε το σώμα ως τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει μηδενική παραμόρφωση (σχήμα β) και το αφήνουμε ελεύθερο να πέσει με μηδενική αρχική ταχύτητα. Το σώμα αρχίζει να κάνει α.α.τ.
   Ένα δεύτερο σώμα μάζας m  κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και στην πορεία του συναντάει το ταλαντευόμενο σώμα στην κάτω ακραία θέση του με ταχύτητα υ0  (σχήμα γ) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό. Μετά την κρούση (που θεωρούμε ότι συμβαίνει τη στιγμή t=0) το συσσωμάτωμα που προέκυψε ξεκινάει μια α.α.τ. με εξίσωση  ψ = Α΄ημ5t και με ανώτερη θέση τη Φ.
  Να υπολογίσετε: …
  • Κάντε λήψη ολόκληρης της άσκησης από εδώ.
  • Αναλυτική λύση εδώ.


Τρίτη, 3 Σεπτεμβρίου 2013

Ο Feynman συνέχισε:
  • Στην πραγματικότητα αυτό που κάνουμε είναι να ασχολούμαστε σε υπερβολικό βαθμό μ’ ένα συγκεκριμένο θέμα που δείχνει απόλυτα φυσιολογικό και συνηθισμένο. Οι άνθρωποι αναμφίβολα έχουν φαντασία, μόνο που δεν τη χρησιμοποιούν τόσο εντατικά. Όλοι μας διαθέτουμε δημιουργικότητα, αλλά οι επιστήμονες κάνουν χρήση της σε μεγαλύτερο βαθμό. Αυτό που δεν είναι συνηθισμένο είναι να τη χρησιμοποιείς με τόση ένταση ώστε όλη εκείνη η εμπειρία που συσσωρεύεται με τα χρόνια να αφορά στο ίδιο πάντα περιορισμένο θέμα.

Απόσπασμα από το “ουράνιο τόξο του Φάυνμαν” (Feynmans Rainbow) του Leonard Mlodinow, σε μετάφραση Δημοσθένη Κοντού εκδόσεις Αλεξάνδρεια.

ΚΑΛΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ!
  Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι εύχομαι με καινούργια διάθεση και ανανεωμένες δυνάμεις να ξεκινήσετε άλλη μια φορά τη δημιουργική σας προσπάθεια για να κάνετε ακόμα φωτεινότερη μέσα σας τη σφαίρα της γνώσης, εσείς οι μαθητές, και να βελτιώσετε ως τα όρια της σοφίας την εμπειρία σας, εσείς οι συνάδελφοι.
  Είναι σίγουρο ότι από αυτήν εδώ τη γωνιά θα προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη δημιουργικότητα και τη φαντασία μας πέρα από το συνηθισμένο, ώστε η συσσωρευμένη με τα χρόνια εμπειρία μας να έχει να προσθέσει κάτι νέο στα ίδια πάντα περιορισμένα θέματα.
                                                                                                               Τάσος Τζανόπουλος

Δευτέρα, 2 Σεπτεμβρίου 2013

ΜΙΑ «ΑΛΛΗ» ΕΚΔΟΧΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α.Α.Τ., ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΕ ΕΞΙ ΙΔΕΕΣ

  • Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα”
  • 1η περίπτωση:  (Επίπεδο δυσκολίας 1, η πιο εύκολη!)
  • α.α.τ φορτισμένου σφαιριδίου σε βαρυτικό και ηλεκτρικό πεδίο

Το μεταλλικό σφαιρίδιο του σχήματος έχει θετικό φορτίο q και μάζα m = 0,4 kgr. Το ελατήριο είναι ιδανικό (δηλ., έχει αμελητέα μάζα και υπακούει στο νόμο του Hooke) και έχει σταθερά k = 10 N/m. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές Η.Π. έντασης τέτοιας ώστε το σώμα να ισορροπεί στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
  Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και προς τα κάτω κατά d = 0,3m και μετά το αφήνουμε ελεύθερο, χωρίς αρχική  ταχύτητα.
Α. Να αποδειχτεί ότι το σφαιρίδιο θα κάνει α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς D = k.
Β. Να υπολογίσετε το πλάτος και τη γωνιακή συχνότητα της α.α.τ.
Γ. Να γραφεί η σχέση της δύναμης ελατηρίου με το χρόνο θεωρώντας t =0 τη στιγμή που αφήνουμε τη σφαίρα.
Δ. Αν τη στιγμή που η σφαίρα περνά από τη θέση ισορροπίας της καταργήσουμε το Η.Π., ποιο θα είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης;


Θεώρησε τις απομακρύνσεις πάνω από τη θέση ισορροπίας θετικές και τις διαστάσεις του σφαιριδίου αμελητέες. Δίνεται g = 10 m/s2.

Μπορείτε να κάνετε λήψη της άσκησης σε PDF εδώ
Αναλυτική Λύση της Άσκησης θα βρείτε εδώ