Όποιος σκορπίζει γνώση κερδίζει χαρά!!

Τρίτη, 25 Δεκεμβρίου 2012

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΤΡIΒΗ

Όταν το σύστημα που φαίνεται στο σχήμα βρίσκεται σε ισορροπία, το δεξί ελατήριο  είναι τεντωμένο κατά x1. Ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ των επιφανειών επαφής των δύο σωμάτων είναι μs, ενώ δεν υπάρχει τριβή μεταξύ του κάτω σώματος και του δαπέδου. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι σταθερές του δεξιού και του αριστερού ελατηρίου είναι k και 3k, αντίστοιχα. Τα σώματα έχουν ίσες μάζες m
Να βρείτε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης του συστήματος  για το οποίο το πάνω σώμα δεν ολισθαίνει ως προς το κάτω.

Δείτε:

Σάββατο, 22 Δεκεμβρίου 2012

ΑΞΙΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΚΕΡΑΙΑΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ


Ήμουν μαθητής  στην πρώτη τάξη Λυκείου όταν ο καθηγητής μας της Άλγεβρας  μας έθεσε το ερώτημα:
«Δύο κινητά εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση κινούμενα δεξιόστροφα πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου με περιόδους Τ1 = 2,5 min και T2 =  6 min, αντίστοιχα. Σε πόσο χρόνο μετά από μια συνάντησή τους θα ξανασυναντηθούν στο ίδιο σημείο;»
 Θυμάμαι ότι δυσκολευτήκαμε.  Ήταν η πρώτη φορά που ανακαλύπταμε τη χρησιμότητα της ελάχιστης ακέραιας αναλογίας. Έχω, λοιπόν, ένα απωθημένο, με βάση το οποίο διαμορφώθηκε το ερώτημα Γ στην άσκηση που ακολουθεί.

Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες M = 6 kgr και m = 1 kgr, αντίστοιχα, ισορροπούν δεμένα  μεταξύ τους με ένα τεντωμένο κατακόρυφο αβαρές σχοινί. Το καθένα είναι στερεωμένο στο άκρο ενός ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές σκληρότητας k1 = 150 N/m και k2 = 100 N/m,  και οι θέσεις ισορροπίας των κέντρων των δύο σωμάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια κατακόρυφο. Το πάνω ελατήριο είναι παραμορφωμένο κατά 0,4 m.

Α. Να βρείτε την παραμόρφωση Δℓ1 του κάτω ελατηρίου.  
B. Κάποια στιγμή (t = 0) κόβουμε το σχοινί και τα δύο σώματα αρχίζουν να εκτελούν α.α.τ. Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης κάθε συστήματος «ελατήριο – μάζα»;
Γ.  Ποια χρονική στιγμή, μετά την έναρξη της ταλάντωσης, θα βρεθούν τα κέντρα των δύο σωμάτων για πρώτη φορά στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση;
Δ. Με ποιο ...

Δείτε:

Δευτέρα, 17 Δεκεμβρίου 2012

1ο  ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 

Ένα "Δώρο" για τις Γιορτές στους Αγαπητούς Μαθητές και Συναδέλφους!


….…. Β.3.  Δίνεται το ποτήρι του σχήματος.  Έχει γυάλινο πυθμένα και περιέχει υγρό με δείκτες διάθλασης nγυαλ = 1,5 και nυγρ  = 1,2, αντίστοιχα, για την ίδια μονοχρωματική ακτινοβολία. Μια ακτίνα αυτής της ακτινοβολίας πέφτει στη βάση του ποτηριού με γωνία προσπτώσεως π.  Είναι δυνατόν η ακτίνα να πάθει ολική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια γυαλιού – υγρού, αν μεταβάλλουμε τη γωνία π από 0ο έως 90ο; Δίνεται nαέρα= 1. 
…………………

Δείτε: 

Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2012

ΜΙΑ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΗ ΘΕΣΗ

Το σώμα Σ μάζας Μ = 0,6 kgr ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 40 N/m, που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Ένα βλήμα μάζας m = 0,4 kgr κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω και στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, έχοντας αμέσως πριν την κρούση ταχύτητα υ0 = 10 m/s.
Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αρχίζει να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης ανάλογη με την ταχύτητα (Fαπ = - bυ).
Α. Αν η αρχική επιτάχυνση του συσσωματώματος είναι α =-4,4 m/s2,  να υπολογίσετε τη σταθερά απόσβεσης b. (Θεωρείστε θετική την προς τα πάνω φορά και τη διάρκεια κρούσης αμελητέα).
Β. Πόση ενέργεια θα χάσει το συσσωμάτωμα εξαιτίας του έργου της Fαποσβ. μέχρι να σταματήσει μόνιμα;
Γ. Έστω ότι δυο διαφορετικές χρονικές στιγμές t1 και t2 (t2 > t1) το συσσωμάτωμα διέρχεται από την ίδια θέση Α, για την οποία είναι xA = + 0,006 m, κινούμενο προς την ίδια κατεύθυνση, με ίδια επιτάχυνση μέτρου αΑ = 0,1 m/s2.
Γ1. Να εξετάσετε αν το σώμα πλησιάζει ή απομακρύνεται από τη θέση x = 0 (όπως στις αμείωτες έτσι και στις φθίνουσες ταλαντώσεις η θέση αυτή θεωρούμε ότι είναι η θέση όπου η δύναμη επαναφοράς, Fεπαναφ. είναι μηδέν).
Γ2. Να προσδιορίσετε τη φορά και το μέτρο της δύναμης απόσβεσης τη χρονική στιγμή t1 και τη χρονική στιγμή t2.
Δ. Να υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας του συστήματος στη διάρκεια t2t1.
[Δίνεται: g = 10 m/s2]



Τετάρτη, 21 Νοεμβρίου 2012

Απώλεια επαφής σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση


Το σύστημα αρχικά βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας. Αρχίζουμε να περιστρέφουμε αργά – αργά τον  τροχό αυξάνοντας σταδιακά τη συχνότητα περιστροφής του και διαπιστώνουμε ότι μέχρι μια ορισμένη συχνότητα f1 = 5/π Hz ο δίσκος και το σώμα ταλαντώνονται ευρισκόμενα συνεχώς σε επαφή.
Α. Αν πάνω από τη συχνότητα αυτή το σώμα και ο δίσκος δεν μπορούν να βρίσκονται συνέχεια σε επαφή, πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης με τη συχνότητα f1;


Β. Αν η μάζα του σώματος είναι m = 1 kgr, πόση είναι η μέγιστη δύναμη που δέχεται από το δίσκο όταν η συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση με f1;
Θεωρείστε τη μάζα του ελατηρίου και του σχοινιού αμελητέα και ότι και g = 10 m/s2

Για το Β ερώτημα δίνεται ότι, αν υπάρχει δύναμη απόσβεσης αυτή ενεργεί μόνο στο δίσκο και όχι στο σώμα.
Δείτε:

Πέμπτη, 15 Νοεμβρίου 2012

Ο Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στην α.α.τ. και η μέγιστη τιμή του


Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ένας δυσπρόσιτος για τους μαθητές Λυκείου ρυθμός, γιατί δεν αναφέρεται στη θεωρία των βιβλίων τους της Φυσικής.

Μόνο σε ένα σημείο, αλλά στις ασκήσεις, στη σελίδα 223 άσκ. 5.60 του βιβλίου θετικής κατεύθυνσης της Β Λυκείου, ζητείται ο υπολογισμός του. Στους “παλαιούς” συναδέλφους έχει στοιχειώσει ένα αντίστοιχο ερώτημα που είχε τεθεί στις Πανελλήνιες του 2002 στην τάξη Β.

Στη θεωρία του βιβλίου της Γ, στο 4ο κεφάλαιο σελ.128, θίγεται ο ρυθμός παραγωγής έργου δύναμης dW/dt, ο οποίος μάλιστα αναφέρεται και ως ισχύς P της δύναμης.

Θα μπορούσε λοιπόν στις Πανελλήνιες να ζητηθεί αντί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ο ρυθμός παραγωγής έργου της δύναμης επαναφοράς στην α.α.τ.


Δευτέρα, 12 Νοεμβρίου 2012

Μέγιστο κι ελάχιστο μέτρο της Fελ στον απλό αρμονικό ταλαντωτή ελατήριο – σώμα

Κι άλλες συναρτήσεις και διαγράμματα Fελt σε απλό αρμονικό ταλαντωτή με κατακόρυφο ελατήριο

Να γίνει σε κάθε περίπτωση, με ελεύθερη εκτίμηση, το διάγραμμα Fελt.
Θεωρείστε φ0 = 0 και την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.
 
 περίπτωση.

Δίνονται:
k = 125 N/m,  A = 0,4 m,  m = 5 kgr,  g = 10 m/s2

ΕΛΕΥΘΕΡΗ  ΠΤΩΣΗ – ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ – Α.Α.Τ. ΚΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Fελ t



Δίνονται: k = 160 N/mM = 9 kgrm = 1 kgrh = 15/16 m και g = 10 m/s2
Α. Με αρχή χρόνων τη στιγμή της δημιουργίας του συσσωματώματος να εξάγετε τη σχέση απομάκρυνσης - χρόνου της α.α.τ. που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα.
Β. Να εξάγετε τις σχέσεις Fελ – απομάκρυνσης και Fελ – χρόνου και να τις παραστήσετε γραφικά σε κατάλληλα αριθμημένο σύστημα αξόνων.
Γ. Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν;

ΕΛΕΥΘΕΡΗ  ΠΤΩΣΗ – ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ – Α.Α.Τ., ΕΞΙΣΩΣΗ xtΕΝΑ ΠΗΛΙΚΟ ΚΙ ΕΝΑΣ ΡΥΘΜΟΣ


 Το σώμα Σ2 αφήνεται από ύψος h και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ1, που ηρεμεί στερεωμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου.


Δίνονται: k = 100 N/mM = 3 kgrm = 1 kgrh = 0,6 m και g = 10 m/s2.

Α. Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα κάνει α.α.τ. και με αρχή χρόνων τη στιγμή της δημιουργίας του να εξάγετε τη σχέση απομάκρυνσης - χρόνου της α.α.τ. που θα εκτελέσει.
Β. Να προσδιορίσετε την τιμή του πηλίκου: 
Γ. Σε ποια θέση και σε πόσο χρόνο από τη στιγμή της κρούσης το συσσωμάτωμα θα σταματήσει (στιγμιαία) για πρώτη φορά;
Δ. Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος στην παραπάνω θέση;

Για την ταλάντωση του συσσωματώματος να θεωρήσετε θετική φορά την προς τα πάνω και στο πηλίκο να θέσετε τις αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων.





Παρασκευή, 2 Νοεμβρίου 2012

Η ΤΑΣΗ ΝΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΜΗΚΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ  -2ο


2.  ΣΩΜΑ ΔΕΜΕΝΟ ΜΕ ΣΧΟΙΝΙ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΣΩΜΑ

Εδώ, στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχουμε προσαρμόσει ένα σώμα μάζας Μ από το οποίο κρέμεται με σχοινί ένα άλλο σώμα μάζας m. Το σύστημα αρχικά ηρεμεί με το ελατήριο παραμορφωμένο κατά Δℓ.

Απομακρύνουμε το σύστημα των σωμάτων κατά d προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο. Πόση είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του d για την οποία το σχοινί διατηρείται διαρκώς τεντωμένο; 

Θεωρείστε το σχοινί αβαρές και μη εκτατό.

Η λύση εδώ.

Η ΤΑΣΗ ΝΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΜΗΚΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ -1ο


1.  ΣΩΜΑ ΔΕΜΕΝΟ ΜΕ ΣΧΟΙΝΙ ΣΤΟ ΑΚΡΟ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ

Στο σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο αβαρές ελατήριο στερεωμένο με το ένα άκρο του σε μια οροφή. Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, όταν όμως με τη βοήθεια ενός σχοινιού κρεμάσουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας m και το αφήνουμε σιγά - σιγά να ισορροπήσει στη θέση Θ.Ι του σχήματος, το μήκος του θα αυξηθεί κατά Δℓ.
Απομακρύνουμε το σώμα κατά d προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο. Πόση είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του d για την οποία το σχοινί διατηρείται διαρκώς τεντωμένο; Θεωρείστε το σχοινί αβαρές και μη εκτατό.

Σκεφτείτε, προσπαθήστε κι ύστερα …

Σάββατο, 20 Οκτωβρίου 2012

Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση αντιμέτωπη με αρμονικά μεταβαλλόμενη κίνηση



Στο χώρο, όπου βρίσκονται τα σώματα του σχήματος, υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε. Το σφαιρίδιο Σ2 είναι ηλεκτρικά φορτισμένο με φορτίο q και αρχικά το συγκρατούμε ακίνητο σε απόσταση ℓ από το αφόρτιστο σώμα Σ1 που ισορροπεί στερεωμένο στο αριστερό άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου όπως στο σχήμα. Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.
Μετακινούμε το Σ1 προς τα δεξιά κατά x1 = 0,2 m και το αφήνουμε ελεύθερο. Την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το Σ2.

Α. Να υπολογίσετε την απόσταση ℓ ώστε η συνάντηση των σωμάτων να γίνει στη θέση ισορροπίας του Σ1.

Β. Αν δίνεται ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα ξαναγυρίζουν στις αρχικές τους θέσεις με μηδενικές ταχύτητες, να υπολογίσετε την m2.

Γ. Να εξηγήσετε ότι η κρούση των σωμάτων είναι  ελαστική και να δείξετε ότι θα φτάσουν στις αρχικές τους θέσεις ταυτόχρονα.

Δ. Αν σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC ...

Δείτε:

Σάββατο, 13 Οκτωβρίου 2012

ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΕ Α.Α.Τ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΣΩΜΑ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ


ΙΙ. Γενική περίπτωση  
Το σώμα Σ ισορροπεί αρχικά στη θέση I που φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος. Κάποια στιγμή (t = 0) εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη F, όπως στο σχήμα. Το μέτρο της δύναμης  μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: F = (10/3)y +10 (το F σε N και το y σε m), όπου y η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας Ι. Τo σώμα αρχίζει να ανεβαίνει.
Α. Να δείξετε ότι υπάρχει μια θέση I΄, ψηλότερα από τη Ι, όπου η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, συμπεριλαμβανομένης και της F, είναι μηδέν και ότι η θέση αυτή είναι το κέντρο μιας α.α.τ. που θα εκτελέσει το σώμα.
Β. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστη κινητική ενέργεια και πόση είναι αυτή;
Γ. Κάποια στιγμή διακόπτουμε την εφαρμογή της F. Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει στη συνέχεια το σώμα Σ αν η δύναμη F πάψει να εφαρμόζεται τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από:
i. Tην πάνω ακραία θέση του
ii. Τη θέση Φ
iii. Τη θέση Ι
Δίνονται: m = 1 kgr, g = 10 m/s2, k = 40/3 N/m
Περισσότερα για το παραπάνω πρόβλημα:

 ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΕ Α.Α.Τ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΣΩΜΑ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ


Ειδική περίπτωση

  Το σώμα Σ ισορροπεί αρχικά στη θέση I κρεμασμένο από ένα κατακόρυφο ελατήριο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω δύναμη F, που το μέτρο της μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση:  F = (40/3)y +10 (το F σε N και το y σε m), όπου y η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Έπειτα από 1sec καταργούμε την F.
Α. Δείξτε ότι, στη διάρκεια που στο σώμα ενεργεί η δύναμη F, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. ενώ μετά την κατάργησή της θα κάνει α.α.τ.
Β. Προσδιορίστε τα μεγέθη της ταλάντωσης: ω, Αφο.
(Για τα διανυσματικά μεγέθη της α.α.τ. θεωρείστε θετική την προς τα κάτω φορά. Ως αρχή μέτρησης χρόνου θεωρείστε τη στιγμή που το σύστημα ξεκινά να ταλαντώνεται).
Δίνονται: m = 10 kgrg = 10 m/s2k = 40/3 N/m

Δείτε:

Σάββατο, 29 Σεπτεμβρίου 2012

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΙΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΜΙΑ Α.Α.Τ.


·      Πώς μια πρόσθετη μεταβλητή δύναμη επηρεάζει την α.α.τ. συστήματος “κατακόρυφο ελατήριο – μάζα”
Το κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k1 είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο ενώ στο πάνω άκρο έχουμε δέσει ένα σώμα μπάζας m = 1 kgr το οποίο εκτελεί α.α.τ. με πλάτος Α = 0,1 m και με συχνότητα   =  5/π  Hz. Κάποια στιγμή, συγκεκριμένα όταν το σώμα διέρχεται από το ανώτερο σημείο της τροχιάς του (αλλιώς, πάνω ακραία θέση ή Π.Α) αρχίζει να ενεργεί πάνω του, με φορά προς τα πάνω μια επιπλέον κατακόρυφη μεταβλητή δύναμη μέτρου F2 = 300y, όπου y η απόσταση του σώματος από το σημείο αυτό.
Α. Να  δείξετε ότι το σώμα θα εξακολουθήσει να κάνει α.α.τ. και να προσδιορίσετε το νέο πλάτος και τη νέα της συχνότητα.
Β. Πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια Κ΄μεγ της νέας ταλάντωσης;
Γ. Με αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) τη στιγμή που αρχίζει να δρα πάνω στο σώμα η δύναμη F2 να εξάγετε τη σχέση που συνδέει την F2 με το χρόνο.
Δίνεται g = 10 m/s2.

Περισσότερα:

 Εφαρμόστε τα προηγούμενα στις δύο παρακάτω παραλλαγές:





1η. Πώς θα λύνατε την παραπάνω άσκηση αν η δύναμη F2 είχε φορά προς τα κάτω κι άρχιζε να ενεργεί πάνω στο σώμα τη στιγμή που διέρχεται από την κάτω ακραία θέση (Κ.Α) της αρχικής του ταλάντωσης; (Θεωρείστε το y ως την απόσταση από την Κ.Α).












2η. Πώς θα λύνατε την παραπάνω άσκηση αν η δύναμη F2 είχε φορά προς τα κάτω κι άρχιζε να εφαρμόζεται πάνω στο σώμα τη στιγμή που διέρχεται από την θέση ισορροπίας (Θ.Ι) ανεβαίνοντας; (Θεωρείστε το y ως την απόσταση από την Θ.Ι).