Όποιος σκορπίζει γνώση κερδίζει χαρά!!

Τετάρτη, 28 Δεκεμβρίου 2011

ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ


Στο στιγμιότυπο της στιγμής t1 ενός αρμονικού κύματος, που διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής και περιγράφεται από την εξίσωση ψ = Αημ2π(t/T  - x/λ), η φάση μεταβάλλεται σε σχέση με την απόσταση από την αρχή αξόνων όπως δείχνει το διάγραμμα (α), ενώ η φάση της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα (β).
α)  Προσδιορίστε την απόσταση του υλικού σημείου Σ από την αρχή αξόνων καθώς και τη χρονική στιγμή t1.
β)  Αν η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του ελαστικού μέσου διάδοσης είναι ...
Δείτε:
 

Παρασκευή, 23 Δεκεμβρίου 2011

2ο τρίωρο στις ταλαντΩΣΕΙΣ (επαναληπτικο)

Ένα διαγώνισμα στο “πνεύμα” των εξετάσεων, δώρο από το … “πνεύμα” των Εορτών

B.1. Αν το κιβώτιο του σχήματος συνδεθεί με το αριστερό ελατήριο σταθεράς k1 και διεγερθεί κατάλληλα θα εκτελέσει  α.α.τ. με συχνότητα f1. Όμοια, αν συνδεθεί με το δεξί ελατήριο σταθεράς k2 θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f2.
.

Δείξτε ότι αν συνδεθεί και με τα δύο ελατήρια όπως στο τρίτο σχήμα, και διεγερθεί κατάλληλα, θα κάνει α.α.τ. με συχνότητα f  για την οποία:
                                           f2 = f12 + f22
 (Δίνεται ότι όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση Ι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Δίνεται, επίσης, ότι το κιβώτιο κινείται χωρίς τριβές στην οριζόντια επιφάνεια και ότι τα στηρίγματα δεξιά και αριστερά στα οποία στερεώνονται τα ελατήρια είναι σταθερά).
Δείτε:

Τρίτη, 13 Δεκεμβρίου 2011

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ - ΘΕΜΑ Β, επτά ερωτήσεις.  ΜΕΡΟΣ 2ο



A. ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΑ                                                                       
1. Πώς να διπλασιάσετε ή να μην πειράξετε την Τδιακρ όταν αλλάξετε τις συχνότητες
Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που είναι αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, με ίδιο κέντρο ταλάντωσης, ίδιο πλάτος και διεύθυνση, με συχνότητες  f1 και  f2 για τις οποίες  f2- f1 = 2 Hz. Έτσι η κίνηση του σώματος είναι μια ιδιόμορφη ταλάντωση που παρουσιάζει διακροτήματα.
Ποια ή ποιές από τις παρακάτω ενέργειες δε θα μεταβάλλουν την περίοδο των διακροτημάτων και ποια ή ποιες θα την διπλασιάσουν;
α. Μείωση της f2 κατά 1 Hz,  β. Μείωση της f2 κατά 3 Hz, γ. Μείωση της f2 κατά 4 Hz,
δ. Αύξηση της f1 κατά 1 Hz,  ε. Αύξηση της f1 κατά 3 Hz, στ. Αύξηση της f1 κατά 4 Hz.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Δευτέρα, 12 Δεκεμβρίου 2011

2. Ποιες οι συνέπειες στην περίοδο ταλάντωσης αν διπλασιάσουμε την περίοδο διακροτήματος

 Ένα υλικό σημείο αναγκάζεται να κάνει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις:  x1 = Aημω1t  και  x2 = Aημω2t,  με τα ω1 και ω2 να διαφέρουν ελάχιστα κατά ω1 - ω2 = δ  > 0
Μειώνουμε το ω1  σε ω1΄,  έτσι ώστε ω1΄- ω2 = - δ/2. Αυτό έχει ως συνέπεια:
α) Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους να διπλασιαστεί. 
β) Το μέγιστο πλάτος από 2 Α  να γίνει 4 Α.
γ) Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης να ελαττωθεί κατά 0,75δ.
i)  Nα χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως σωστή ή λάθος.
ii) Να δικαιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς σας.
            

3. Διαπασών – τι είναι – γνωρίστε το με μια απλή άσκηση

Το διαπασών είναι όργανο που χρησιμοποιείται στην πειραματική ακουστική ως πηγή ήχου. Αποτελείται από ένα έλασμα, λυγισμένο ώστε να μοιάζει με το γράμμα U, που είναι στερεωμένο στη μέση. Έτσι  οι άκρες του μπορούν να δονούνται ελεύθερα.
 Όταν χτυπάμε το ένα σκέλος του, τότε πάλλεται ολόκληρο και παράγει ένα απλό (αρμονικό) ήχο. 
Η ένταση του ήχου του είναι πολύ μικρή και για να αυξηθεί, τοποθετείται πάνω σε ένα  ηχείο, που αποτελείται από ένα τετράπλευρο ξύλινο κιβώτιο, ανοικτό από τη μια πλευρά.

Η άσκηση:
Τα ηχητικά κύματα που εκπέμπονται από δύο διαπασών, που πάλλονται ταυτόχρονα (εικόνα α), προκαλούν δονήσεις στα τύμπανα των αυτιών μας με ελαφρά διαφορετικές συχνότητες, που γίνονται αισθητές ως ηχητικά διακροτήματα.  Διαπιστώνουμε ότι παράγονται  4 πλήρη διακροτήματα ανά δευτερόλεπτο. Η συχνότητα του αριστερού διαπασών είναι fA = 512Ηz. Όταν στο δεξί διαπασών προστεθεί μια μικρή μάζα (εικόνα β) και τεθεί ταυτόχρονα με το αριστερό σε ταλάντωση, τότε ακούγονται πάλι 4 διακροτήματα ανά δευτερόλεπτο. Ποια από τις παρακάτω συχνότητες
α. 502 Ηz          β. 508 Ηz           γ. 516 Ηz         δ. 520 Ηz
Είναι:
Α. Η συχνότητα fΔ του δεξιού διαπασών πριν προστεθεί η μάζα.
Β. Η συχνότητα f΄Δ του δεξιού διαπασών μετά την προσθήκη της μάζας.

Οδηγία. Θεωρείστε ότι η προσθήκη της μικρής μάζας επηρεάζει τη συχνότητα της ταλάντωσης του διαπασών με τον ίδιο τρόπο που θα επηρεάζονταν η συχνότητα ταλάντωσης σώματος προσαρτημένου σε ελατήριο αν η μικρή μάζα προστίθετο σ’ αυτό.

4. Αριθμός ταλαντώσεων σε ένα διακρότημα = Τδιακρ ταλ

Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης , ίδιας θέσης ισορροπίας και ίδιου πλάτους με συχνότητες 101Ηz και 99 Ηz. Ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους είναι:
α)  50,  β) 200,   γ) 2,  δ) 100 
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Β. ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΕ ΙΔΙΕΣ  ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ κ.λπ.

1. Σύνθεση με ταχύτητες (Μια απλή άσκηση για … ζέσταμα)
Ένα σώμα εκτελεί μια σύνθετη ταλάντωση που είναι αποτέλεσμα της υπέρθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία από τις επιμέρους ταλαντώσεις είναι:
υ1 = υ1,maxσυν(ωt + 2π/3)  (S.I.)   και υ2 = 2συνωt (S.I.)
Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση
x = 0,2ημ(10t+θ)  (S.I)
 Δύο από τις παρακάτω τρείς εξισώσεις αντιστοιχούν στις σχέσεις απομάκρυνσης – χρόνου των συνιστωσών ταλαντώσεων:
i.   x = ημ(10t+2π/3),  
ii.  x = 0,2ημ(10t+2π/3),  
iii. x = 0,2ημ10t.
Α. Επιλέξτε: α. i, ii,   β. i, iii,   γ. ii, iii
Β. Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

2. Μια “ανεβασμένη” σύνθεση. Τι προτιμάτε: εύκολη ή δύσκολη λύση;


Μια άσκηση που όσες φορές τη δίνω στους μαθητές μου παγιδεύονται σε μια δύσκολη λύση γιατί αγνοούν ότι η αρχή της επαλληλίας επιτρέπει να είναι και υολ= υ1 + υ2. (Άλλη μια ατέλεια του σχολικού βιβλίου που θα έπρεπε κάθε χρόνο σε κάποια σημεία του να γίνονται μικρές αλλά σημαντικές βελτιώσεις σύμφωνα με τις υποδείξεις των διδασκόντων). Μήπως οι συνάδελφοι του παιδαγωγικού “ινστιτούτου” έχουν κάποια ευθύνη για αυτό;

Η άσκηση:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδιο κέντρο ταλάντωσης και ίδια γωνιακή συχνότητα ω = 10 rad/s. Αν το σώ­μα εκτελούσε μόνο την πρώτη ταλάντωση τη χρονική στιγμή t = 0 θα είχε απομάκρυνση x1 = +0,6 m και ταχύτητα υ1  = +3m/sec ενώ αν εκτελούσε μόνο την δεύτερη ταλάντωση θα είχε, τη στιγμή t = 0, απομάκρυνση x2 = - 0,3 m και ταχύτητα υ2 = 0 m/s.
Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:
α.  xολ = 0,6ημ(10t +π/6)
β.  xολ = 0,3ημ(10t +π/3)
γ.  xολ = 0,6ημ(10t +π/3)
Α. Επιλέξτε την ορθή σχέση
Β. Αιτιολογείστε την επιλογή σας.


3. Άλλη μια “ανεβασμένη” σύνθεση με μια εύκολη και μια δύσκολη λύση

Και εδώ, η εύκολη λύση είναι αυτή όπου αξιοποιείται πλήρως η αρχή της επαλληλίας (xολ =x1 +x2 και υολ = υ1+ υ2), ενώ η δύσκολη λύση δεν είναι (κατά σύμπτωση;) και τόσο δύσκολη.

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α1 και με κυκλική συχνότητα ω = 10 rad/s. Κάποια χρονική στιγμή (t = 0) και ενώ το σώμα διέρχεται από τη θέση με απομάκρυνση x1  = + 3 m, κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 10 m/s, αρχίζει να ε­κτελεί και δεύτερη αρμονική ταλάντωση, ίδιας διεύθυνσης και γύρω από το ίδιο σημείο, με εξίσωση x2 = 2ημ10t  (S.I.). Η συνισταμένη ταλάντωση έχει τριπλάσια ενέργεια απ’ αυτήν που εκτελούσε αρχικά το σώμα.
Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:
α. xολ = 23ημ(10π + π/6)
β. xολ = 2ημ(10π + π/2)
γ. xολ = (2 + 3 ) ημ(10π + π/6)
Α. Επιλέξτε την ορθή σχέση
Β. Αιτιολογείστε την επιλογή σας.