Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν.

Παρασκευή, 29 Απριλίου 2011

Τρίτη, 26 Απριλίου 2011

ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ - ΤΡΕΙΣ ΡΑΒΔΟΙ - ΣΦΑΡΙΔΙΟ

Δακτύλιος - τρείς ράβδοι -  σφαιρίδιο
  Ο τροχός του σχήματος αποτελείται από ένα κατακόρυφο δακτύλιο αμελητέου πάχους, από ένα σφαιρίδιο το οποίο είναι προσκολλημένο σε ένα σημείο Σ του δακτυλίου και από  τρεις ράβδους με μήκος ℓ ίσο με την ακτίνα του δακτυλίου. Οι ράβδοι είναι συγκολλημένες κι αυτές στο δακτύλιο ώστε να αποτελούν τρείς ακτίνες του, που  ανά δύο να σχηματίζουν γωνία ίση με 120ο .  Ο τροχός μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος πάνω του και διέρχεται από το κέντρο του Κ.
Ο δακτύλιος, καθεμιά ράβδος και το σφαιρίδιο έχουν την ίδια μάζα m. Αρχικά,  συγκρατούμε τον τροχό με την ακτίνα ΚΣ σε οριζόντια θέση. Ύστερα τον αφήνουμε ελεύθερο να περιστραφεί γύρω από τον οριζόντιο άξονα.
α) Πόση είναι η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του τροχού;
β) Πόσος είναι ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής σφαιριδίου;
γ)  Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή που η ακτίνα ΚΣ γίνεται κατακόρυφη;
 Οι απαντήσεις σας να δοθούν σε συνάρτηση με την επιτάχυνση βαρύτητας g, το μήκος ℓ των ράβδων και τη μάζα m.
Δίνεται η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της:
Ιc.m =  m 2/ 12.

H άσκηση σε pdf είναι εδώ και η αναλυτική λύση της εδώ.

Δευτέρα, 25 Απριλίου 2011

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ,  ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ,  ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ - ΘΕΜΑ Β  ερώτηση 4η

4. Ένας ρυθμός μεταβολής στροφορμής και κάποιοι προβληματισμοί.

Στο άκρο Α της ράβδου ΟΑ (μάζας m και μήκους , ομογενής και  ισοπαχής, με Ic.m = m2/12) έχουμε στερεώσει ένα σφαιρίδιο αμελητέας ακτίνας με μάζα m ίδια με της ράβδου.
Αφήνουμε τη ράβδο από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα (οριζόντια) να στραφεί ελεύθερα, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο.
O αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου ως προς τον άξονα αυτόν έχει μέτρο:
                   α) mg,                              γ) 9mg/8,
                            β) mg/2                          δ)  3mgℓ /2
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Η ερώτηση με την αναλυτική απάντηση σε pdf εδώ και κάποιοι προβληματισμοί εδώ.

Σάββατο, 23 Απριλίου 2011

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ,  ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ,  ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ - ΘΕΜΑ Β, ερώτηση 3η

3. Δύο σφαιρίδια αμελητέων διαστάσεων με σταθερή στροφορμή

 Δύο σφαιρίδια με ασήμαντες διαστάσεις έχουν ίσες μάζες m = 0,2 kgr και είναι στερεωμένα στα άκρα μιας αβαρούς οριζόντιας ράβδου μήκους ℓ = 2 m.
Στη μέση της ράβδου αυτής στερεώνουμε ένα ακλόνητο κατακόρυφο άξονα ο οποίος αποτελεί επίσης και τον άξονα περιστροφής ενός καρουλιού. Ο κύλινδρος του καρουλιού έχει ακτίνα R = 0,1 m και πάνω του είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα αβαρές μη ελαστικό νήμα που οδηγείται, οριζόντιο, στο αυλάκι μιας αβαρούς τροχαλίας η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Στο τέλος του σχοινιού δένεται ένα σώμα Σ μάζας m1 = 1 kgr.  Τριβές δεν υπάρχουν, ούτε το σχοινί ολισθαίνει στο καρούλι και στην τροχαλία. Τότε:
 Α.  Η ροπή που πρέπει να ασκήσουμε στο σύστημα σφαιρίδια – οριζόντια ράβδος – καρούλι ως προς τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής, ώστε το σώμα Σ να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα, έχει μέτρο:

Η συνέχεια της ερώτησης με αναλυτική απάντηση εδώ.

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ,  ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ,  ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ - ΘΕΜΑ Β, ερώτηση 2η

2.  Ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων με σταθερή στροφορμή

  Ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων εκτελεί, χωρίς τριβές, κυκλική κίνηση ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τραβάμε το σχοινί και μειώνουμε την ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου στο μισό. Τότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σφαιριδίου γύρω
από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς:
α) παραμένει ίδια.
β) διπλασιάζεται.
γ) υποδιπλασιάζεται
δ) τετραπλασιάζεται.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Η ερώτηση μαζί με την απάντηση σε pdf εδώ.

Παρασκευή, 22 Απριλίου 2011

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ,  ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ,  ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ - ΘΕΜΑ Β

ερώτηση 1η

1. Μια περίπτωση διατήρησης στροφορμής με συνέπειες … σε όσους δε ζaλίζονται
  Κυκλική οριζόντια πλατφόρμα μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Δύο παιδιά στέκονται ακίνητα στις άκρες μιας διαμέτρου της πλατφόρμας. Το σύστημα πλατφόρμα – παιδιά στρέφεται αρχικά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Κάποια στιγμή τα δύο παιδιά αρχίζουν να πλησιάζουν προς τον άξονα περιστροφής.
Τότε η στροφορμή κάθε παιδιού ως προς τον άξονα περιστροφής:
α)  αυξάνεται,                   
β)  μειώνεται, 
γ)  παραμένει σταθερή,    
δ)  μεταβάλλεται μόνο ως προς τον προσανατολισμό.

Η ερώτηση και η αναλυτική απάντηση σε pdf εδώ.

Τρίτη, 19 Απριλίου 2011

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ – ΘΕΜΑ Β

 Ομογενής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό ά­ξονα, που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα αυτόν είναι Ι = mR2/2.  Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγμένο νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο ένα σώμα μά­ζας m ίδιας με του κυλίνδρου. Αφήνουμε το σώμα να κινηθεί κατακόρυφα προς τα κάτω. To νήμα ασκεί στον κύλινδρο εφαπτομενική δύναμη Τ και ξετυλίγεται, περιστρέφοντάς τον. Δίνεται και η επιτάχυνση βαρύτητας g.
 
Σε κάθε αριθμό της στήλης Α του παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε ένα γράμμα της στήλης Β. ...

Δείτε τη συνέχεια μαζι με τις υπόλοιπες ερωτήσεις εδώ και αναλυτικές απαντήσεις εδώ.

Παρασκευή, 15 Απριλίου 2011

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ KAI ME ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΩΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗΣ ΔΡΑΣΗΣ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ

Ένα δαχτυλίδι, ένας κύλινδρος και ένα συμπαγές σφαιρίδιο, φτιαγμένα από ομογενή υλικά, αφήνο­νται να κυλήσουν ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος  ενός κεκλιμένου επιπέδου. Αν η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση, να δείξετε ότι όποια κι αν είναι η σχέση μαζών των σωμάτων και όποια κι αν είναι η σχέση των ακτίνων τους, το σφαιρίδιο θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση το πλάγιου επιπέδου.

Θεωρείστε ότι η ροπή αδράνειας και των τριών σωμάτων ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής τους, που διέρχεται από το κέντρο μάζας τους, αποδίδεται από τη σχέση:
 Ic = λmR2
όπου m και R είναι η μάζα και η ακτίνα των παραπάνω σωμάτων (με διαφορετικές τιμές για το καθένα), και λ ένας αριθμητικός συντελεστής που η τιμή του είναι 1 για το δακτυλίδι, 0,5 για τον κύλινδρο και 0,4 για το σφαιρίδιο, αντίστοιχα.

Σάββατο, 9 Απριλίου 2011

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ – ΘΕΜΑ Α

1. Ανομοιογενής ράβδος μήκους L ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή  t = 0 αρχίζει να ενεργεί πάνω της ζεύγος οριζοντίων δυνάμενων F1= F2 = F, που διατηρούνται διαρκώς κάθετες στη ράβδο, όπως στο σχήμα. 
Α. Οι ρυθμοί μεταβολής της ταχύτητας του κέντρου μάζας (C) και της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου είναι, αντίστοιχα:
        i.       μηδέν και διάφορος του μηδενός
        ii.     διάφορος του μηδενός και μηδέν
        iii.    μηδέν και μηδέν.
Β. Αν Ιc είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ’ αυτήν, τότε η γωνιακή ταχύτητα και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του γεωμετρικού μέσου (Κ) της ράβδου τη χρονική στιγμή t είναι, αντίστοιχα:

Η συνέχεια εδώ και οι αναλυτικές απαντήσεις εδώ.

Παρασκευή, 8 Απριλίου 2011

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΘΕΜΑ Β

1. Μια ομογενής και σταθερής διατομής ράβδος, μήκους ℓ = 3 m, ισορροπεί οριζόντια. Το ένα άκρο της είναι αρθρωμένο σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο είναι στερεωμένο στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά k = 100 Ν/m, στο οποίο έχει προκαλέσει επιμήκυνση Δℓ = 40 cm. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο της Ο.
Δίνεται η σχέση της ροπής αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: Ic.m = m2/12 και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/sec2.
                                                                                                                Απ. 24 kgr.m2
Εδώ θα βρείτε τις  υπόλοιπες ερωτήσεις κι εδώ αναλυτικές απαντήσεις.

Τρίτη, 5 Απριλίου 2011

ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Ο λεπτός δακτύλιος του σχήματος α και το στερεό του σχήματος β, που αποτελείται από δύο ίδιους συνεπίπεδους μισούς δακτυλίους της ίδια ακτίνας r με το δακτύλιο του σχήματος α, έχουν την ίδια μάζα ομοιόμορφα κατανεμημένη σ’όλο το μήκος τους.
Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας των σωμάτων ως προς άξονες που είναι κάθετοι στο επίπεδό τους και διέρχονται από τα σημεία Ο και Ο΄ του καθενός, σε συνάρτηση με τη μάζα και την ακτίνα τους.  
                                                         
Δείτε εδώ όλες τις ερωτήσεις και εδώ, αναλυτικά, τις απαντήσεις.

Παρασκευή, 1 Απριλίου 2011

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ - ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΜΕ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Ίσως πλησίασε ο καιρός για μια επανάληψη στο ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ. Και των "φρονίμων τα παιδιά" καλό είναι να θυμηθούν πρώτα τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Η σελίδα μας προκειμένου να τονίσει πόσο απαραίτητη είναι αυτή η επανάληψη και επιθυμώντας να βοηθήσει τους αγαπητούς μαθητές, προσφέρει ένα σχετικό τετράδιο με ένα απλό "κλικ" εδώ.